[Toán12]Bất đằng thức.

[ctsp_a1k40sp]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:Cho [tex]a_1, b_1, c_1 [/tex]lần lượt là độ dài 3 cạnh tam giác [tex]A_1B_1C_1[/tex] có diện tích là [tex]F_{1}[/tex], cho [tex]a_2, b_2, c_2[/tex] lần lượt là độ dài 3 cạnh tam giác [tex]A_2B_2C_2[/tex] có diện tích là [tex]F_{2}[/tex], chứng minh:
[tex]\sum a_{1}^{2}(b_{2}^{2} + c_{2}^{2} - a_{2}^{2})\geq 16F_{1}F_{2}[/tex]
Bài 2:Cho [TEX]a,b,c >0,a+b+c=3[/TEX]
Chứng minh :[TEX]\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac} \geq a^2+b^2+c^2[/TEX]
Bài 3:cho a b c dương .CMR
[TEX][(a+b)(b+c)(c+a)]^2\geq abc(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)[/tex]



-----------------
3 bài theo mức độ giảm dần ^^

 

[giangln.thanglong11a6]

Bài 2

BĐT [TEX]\Leftrightarrow \frac{a+b+c}{abc}\geq a^2+b^2+c^2[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow abc(a^2+b^2+c^2)\leq 3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow abc((a+b+c)^2-2(ab+bc+ca))\leq 3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow abc(9-2(ab+bc+ca))\leq 3[/TEX]

Ta có BĐT[TEX] (ab+bc+ca)^2 \geq 3abc(a+b+c).[/TEX]

Do đó chỉ cần CM BĐT [TEX]abc(9-6\sqrt{abc}) \leq 3[/TEX]

[TEX]\Leftrightarrow (2\sqrt{abc}+1){(\sqrt{abc}-1)}^2 \geq 0.[/TEX]

BĐT trên hiển nhiên đúng. Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Lâu chẳng ai vào làm nhỉ
_Bài 2 có thể làm ngắn gọn và đẹp hơn chút xíu
_Bài 3 có khá nhiều lời giải

Cách 1

[TEX](ab+bc+ca)(a+b+c)=(a+b)(a+c)(b+c)+abc \geq 9abc[/TEX]

[TEX]VT=[(ab+bc+ca)(a+b+c)-abc ]^2 \geq [\frac{8}{9}(ab+bc+ca)(a+b+c)]^2 \geq \frac{64}{27} (a+b+c)^3abc \geq [\frac{4(a+b+c)}{3}]^3abc \geq (2a+b+c)(2b+c+a) (2c+a+b)=VP[/TEX]

Cách 2

Đặt[tex] x =\frac{1}{a};y=\frac{1}{b};z=\frac{1}{c}[/tex] ,BDT cần chứng minh
trở thành:

[tex][(x+y)(y+z)(z+x)]^2\geq (2xy+yz+xz)(xy+2yz+xz)(xy+yz+2xz)[/tex]

Đặt [tex]m=xy+yz+xz[/tex],BDT cần chứng minh trở thành:

[tex](x^2+m)(y^2+m)(z^2+m) \geq (xy+m)(yz+m)(xz+m)[/tex]

AM-GM

[tex](x^2+m)(y^2+m) =(xy)^2+m(x^2+y^2)+m^2 \geq (xy+m)^2[/tex]

Xây dựng 2 BDT tương tự ta có đpcm

Cách 3

BDT cần CM viết lại:

<=>[tex]\frac{a+b)(b+c)(c+a}{abc}-8 \geq \frac{(a+b+2c)(b+c+2a)(c+a+2b)}{(a+b) (b+c)(c+a)}-8[/tex]

<=>[tex]\sum \frac{(b-c)^2a(a+b+c)}{bc(a+b)(c+a)} \geq 0[/tex]

Bất đẳng thức này hiển nhiên đúng,vậy ta có đpcm!