[Toán12] Bất đẳng thức: $\sum \dfrac{1}{xy+1} \leq \dfrac{5}{x+y+z}$

[sky_fly_s2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x,y,z là 3 số thực thuộc $(0,1]$.CMR:
$$\sum \dfrac{1}{xy+1} \leq \dfrac{5}{x+y+z}$$
P/s: Em hạn chế dùng kí hiệu: $\sum$ nhé, tại thi đại học không cho dùng đâu, đây là lời khuyên thôi không bắt buộc đâu nha, hì.

 

[jet_nguyen]

Không mất tính tổng quát giả sử : $1\ge x\ge y\ge z\ge 0$
Ta có:
$$\dfrac{z}{xy+1}+\dfrac{x}{yz+1}+\dfrac{y}{zx+1} \le \dfrac{x+y+z}{yz+1} \le \dfrac{1+y+z+(1-y)(1-z)+yz}{yz+1}=2 \, \ ( * )$$Ta lại có:
$$\dfrac{x+y}{xy+1}+\dfrac{y+z}{yz+1}+\dfrac{z+x}{zx+1}=\left (\dfrac{x+y}{xy+1}-1 \right )+\left (\dfrac{y+z}{yz+1}-1 \right )+ \left (\dfrac{z+x}{zx+1}-1 \right )+3$$
$$-\dfrac{(1-x)(1-y)}{xy+1}-\dfrac{(1-y)(1-z)}{yz+1}- \dfrac{(1-z)(1-x)}{zx+1}+3\le 3\; \ ( * *)$$
Cộng ( * ) và ( * *) ta được :
$$\dfrac{x+y+z}{xy+1}+\dfrac{x+y+z}{yz+1}+\dfrac{x+y+z}{zx+1} \le 5 $$$$ \Longleftrightarrow \dfrac{1}{xy+1}+\dfrac{1}{yz+1}+ \dfrac{1}{zx+1}\le \dfrac{5}{x+y+z}$$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1,c= 0 và các hoán vị.