[Toán12]bất đẳng thức hình học

[thutrang11]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho tam giác ABC có a ,b,c và x,y,z lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA,AB và các đường phân giác của các góc A, B , C
Chứng minh :[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>[/tex][tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

 

[thancuc_bg]

cho tam giác ABC có a ,b,c và x,y,z lần lượt là độ dài các cạnh BC, CA,AB và các đường phân giác của các góc A, B , C
Chứng minh :[TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}>[/tex][tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

gọi S là diện tích của tam giác ABC ta có :
[TEX]S=\frac{1}{2}b.c.sinA[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}c.xsin(\frac{A}{2})+\frac{1}{2}b.x.sin(\frac{A}{2}[/TEX]
[TEX]=\frac{1}{2}x(c+b)sin(\frac{A}{2})[/TEX]

từ đó suy ra:[TEX]2bc.sin(\frac{A}{2})cos(\frac{A}{2})[/tex] [tex]=[/tex][tex]x(c+b)sin(\frac{A}{2})[/TEX]
hay [TEX]x=\frac{2bccos(\frac{A}{2})}{b+c}<\frac{2bc}{b+c}[/TEX]
suy ra :[TEX]\frac{1}{x}[/tex]>[tex]\frac{b+c}{2bc}=\frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]

tương tự :[TEX]\frac{1}{y}[/tex]>[tex]\frac{a+c}{2ac}=\frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{c})[/TEX]
[TEX]\frac{1}{z}[/tex]>[tex]\frac{a+b}{2bc}=\frac{1}{2}(\frac{1}{b}+\frac{1}{a})[/TEX]
cộng vào ta được [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}[/tex]>[tex]\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}[/TEX]

 

[xilaxilo]

thancuc_bg ơi đây là box toán 12, move đi. đừng để đây nữa