[Toán12]Bài toán

[eternal_fire]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh rằng trong 4 số thực bất kì luôn chọn được 2 số x,y thoả mãn
[TEX]0\leq \frac{x-y}{1+xy} \leq 1[/TEX]

 

[ctsp_a1k40sp]

Chứng minh rằng trong 4 số thực bất kì luôn chọn được 2 số x,y thoả mãn
[TEX]0\leq \frac{x-y}{1+xy} \leq 1[/TEX]

thực sự là 1 bài toán khó đối với các bạn thi Đại học
Lời giải:
Trước tiên ta có công thức sau
[TEX]tan(x-y)=\frac{tan x-tan y}{1+tan x.tan y}[/TEX]
do hàm số tan tuần hoàn theo chu kì [TEX]\pi[/TEX] nên ta có thể đặt
[TEX]x_1=tan a,x_2=tan b,x_3=tan c,x_4=tan d[/TEX]
với [TEX]0 \leq a \leq b \leq c \leq d \leq \pi[/TEX]
khi đó
với 2 số bất kì trong 4 số đã cho thì hiệu hai số chính là [TEX]tan(m-n)[/TEX] với [TEX]m,n[/TEX] thuộc [TEX]{a,b,c,d}[/TEX]
giả sử ngược lại với điều cần chứng minh ta có
[TEX]d-c,c-b,b-a > \frac{\pi}{4}[/TEX]
như vậy [TEX]d-a > \frac{3\pi}{4}[/TEX]
suy ra
[TEX]a+ \pi -d \leq \frac{\pi}{4}[/TEX]
mà [TEX]x=tan x = tan (a+\pi)[/TEX]
nên ta có điều phải chứng minh

 

[ctsp_a1k40sp]

Tặng lại eternal_fire bài này
Cũng là lượng giác
Chứng minh rằng phương trình [TEX]2(x^2-x-2)cos2x=(1-2x)sin2x[/TEX]
có ít nhất 3 nghiệm phân biệt trong [TEX](-1;2)[/TEX]