[toan11]Chứng tỏ phương trình bậc 3 luôn có nghiệm.

[quangminh93]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng tỏ rằng phương trình bậc 3 luôn có nghiệm, pt có dạng như sau:
ax^3+bx^2+cx+d=0
a,b,c,d là các tham số thuộc R.
Và cũng 1 bài tương tự với pt bậc 4, có thêm đk là a*e<0
Ai biết giải cụ thể giúp mình với.Mình xin cám ơn trước.

 

[ngomaithuy93]

Chứng tỏ rằng phương trình bậc 3 luôn có nghiệm, pt có dạng như sau:
ax^3+bx^2+cx+d=0
a,b,c,d là các tham số thuộc R.
Và cũng 1 bài tương tự với pt bậc 4, có thêm đk là a*e<0
Ai biết giải cụ thể giúp mình với.Mình xin cám ơn trước.

Xét pt bậc ba: [TEX]ax^3+bx^2+cx+d=0 (a \not=0)[/TEX]:
Đặt [TEX]f(x)=ax^3+bx^2+cx+d [/TEX]\Rightarrow f(x) liên tục trên R.
T/h1: a>0:

• [TEX]\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty[/TEX] nên [TEX] \exists a>0[/TEX] để với \forallx>a thì f(x)>0.

Chọn [TEX]a_1>a \Rightarrow f(a_1)>0[/TEX]

• [TEX]\lim_{x\to-\infty}= - \infty [/TEX]nên [TEX] \exists b<0[/TEX] để với \forallx<b thì f(x)<0.

Chọn[TEX] b_1<b \Rightarrow f(b_1)<0[/TEX]
\Rightarrow [TEX]f(a_1).f(b_1)<0[/TEX] \Rightarrow Pt có nghiệm nếu a>0
T/h2: a<0:

• [TEX]\lim_{x\to+\infty}f(x)= - \infty[/TEX] nên [TEX] \exists a<0[/TEX] để với \forallx<a thì f(x)<0.

Chọn [TEX]a_2<a \Rightarrow f(a_2)<0[/TEX]

• [TEX]\lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty [/TEX]nên[TEX] \exists b>0[/TEX] để với \forallx>b thì f(x)>0.

Chọn [TEX]b_2>b \Rightarrow f(b_2)>0[/TEX]
[TEX]\Rightarrow f(a_2).f(b_2)<0[/TEX] \Rightarrow Pt có nghiệm nếu a<0
Vậy pt f(x)=0 luôn có nghiệm.

 

[rua_it]

Chứng tỏ rằng phương trình bậc 3 luôn có nghiệm, pt có dạng như sau:
ax^3+bx^2+cx+d=0
a,b,c,d là các tham số thuộc R.
Và cũng 1 bài tương tự với pt bậc 4, có thêm đk là a*e<0
Ai biết giải cụ thể giúp mình với.Mình xin cám ơn trước.

[tex]Dat:f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e[/tex]

Dễ thấy hàm số f(x) liên tục trên R.

[tex](gt) \Rightarrow ae <0 \Rightarrow ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0[/tex]

[tex]\Rightarrow \frac{ax^4}{e}+\frac{bx^3}{e}+\frac{cx^2}{e}+\frac{dx}{e}+1=0[/tex]

Mặt khác, ta có:

[tex]\lim_{x \to + \infty} f(x)=- \infty [/tex]

[tex]\Rightarrow \exists x_1 <0,x_2>1: f(x_1;x_2) <0(f(0)=1)[/tex]

[tex]Xet:(x_1;1) \Rightarrow \exists t_1:f(t_1)=0[/tex]

Tương tự:

[tex]Xet:(1;x_2) \Rightarrow \exists t_2:f(t_2)=0[/tex]

Từ đó ta được đpcm. :-"