[Toán11]Bài tổ hợp & bđt

M

mcdat

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chắc hẳn bài này mọi người đã gặp nhiều lần rồi, mình có thêm mấy câu hỏi nhờ mọi người giải đáp hộ

I: Một thầy giáo có 12 quyển sách đôi một khác nhau, trong đó có 5 quyển Toán, 4 Lý, 3 Hóa. Thầy dùng 6 quyển trong đó để tặng cho 6 học sinh của mình, mỗi học sinh 1 quyển.

1: Nếu thầy giáo chỉ muốn tặng cho các học sinh trên những cuốn thuộc 2 loại Toán, Lý thì có bao nhiêu cách tặng?

2: Nếu thầy giáo sau khi tặng sách xong, mỗi một trong 3 môn trên đều phải còn lại ít nhất 1 quyển thì có bao nhiêu cách tặng?

3: Giả sử trong 6 học sinh được cho có 3 HS yêu Toán, 2 HS yêu Lý, 1 HS yêu Hóa thì có bao nhiêu cách tặng sao cho HS yêu thích môn nào thì được tặng loại sách đó?

4: Giả sử trong 6 học sinh được cho có 3 HS yêu Toán, 2 HS yêu Lý, 1 HS yêu Hóa thì có bao nhiêu cách tặng sao cho HS yêu thích môn nào thì được tặng loại sách khác sở thích đó, ngoài ra các HS cùng yêu thích 1 môn thì được sách giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tặng sách

II: Cho [TEX]a, b, c \in [0;1] ; a+b+c =\frac{3}{2}[/TEX]. CMR:
[TEX]\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \leq \ 1[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
X

xilaxilo

bài 1:

a/ do chỉ lấy sách toán, lý nên tổng số sách có thể chọn là 4+5 = 9
[TEX]C_9^6[/TEX]

b/ số cách tặng hết toán là [TEX]C_5^5 C_7^1[/TEX] ( tặng 5 quyển toán và 2 quyển ko phải toán )
tương tự có
lý : [TEX]C_8^3[/TEX]
hoá: [TEX]C_9^5[/TEX]
=> tổng số cách chọn thoả mãn đề bài là
[TEX]C_{12}^6 - C_7^1 - C_8^3 - C_9^5[/TEX]

c/ 3 học sinh yếu toán sễ dc tặng 3 trong số 5 quyển toán [TEX]C_5^3[/TEX]
tương tự vs lý và hoá
=> số cách thoả mãn
[TEX]C_5^3 C_4^2 C_3^1[/TEX]

d/ 3 học sinh yếu toán sẽ dc tặng 3 quyển sách lý [TEX]C_4^3[/TEX] hoặc 3 quyển sách hoá [TEX]C_3^3[/TEX] => số cách tặng sách cho hs toán là [TEX]C_4^3 + C_3^3[/TEX]
tương tự
hs lý [TEX]C_5^2 + C_3^2[/TEX]
hs hoá : [TEX]C_5^1+C_4^1[/TEX]
=> số cách thoả mãn
[TEX](C_4^3 +1)(C_5^2+C_3^2)(C_5^1+C_4^1)[/TEX]

chờ chút là tip
 
Last edited by a moderator:
G

giangln.thanglong11a6

xilaxilo làm được đáp số thì viết hẳn cách làm ra cho mọi người xem.

Còn bài BĐT làm như sau:
BĐT [TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} \geq 2[/TEX]

Áp dụng BĐT [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
ta thu được [TEX]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} \geq \frac{9}{a+b+c+3} =2 [/TEX]

Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}[/TEX]

Và rõ ràng ta không cần sử dụng giả thiết a, b, c thuộc [0;1] mà chỉ cần [TEX](-1;\frac{7}{2})[/TEX]
 
M

mcdat

xilaxilo said:
bài 1:

a/ do chỉ lấy sách toán, lý nên tổng số sách có thể chọn là 4+5 = 9
[TEX]C_9^6[/TEX]

b/ số cách tặng hết toán là [TEX]C_5^5 C_7^1[/TEX] ( tặng 5 quyển toán và 2 quyển ko phải toán )
tương tự có
lý : [TEX]C_8^3[/TEX]
hoá: [TEX]C_9^5[/TEX]
=> tổng số cách chọn thoả mãn đề bài là
[TEX]C_{12}^6 - C_7^1 - C_8^3 - C_9^5[/TEX]

c/ 3 học sinh yếu toán sễ dc tặng 3 trong số 5 quyển toán [TEX]C_5^3[/TEX]
tương tự vs lý và hoá
=> số cách thoả mãn
[TEX]C_5^3 C_4^2 C_3^1[/TEX]

d/ 3 học sinh yếu toán sẽ dc tặng 3 quyển sách lý [TEX]C_4^3[/TEX] hoặc 3 quyển sách hoá [TEX]C_3^3[/TEX] => số cách tặng sách cho hs toán là [TEX]C_4^3 + C_3^3[/TEX]
tương tự
hs lý [TEX]C_5^2 + C_3^2[/TEX]
hs hoá : [TEX]C_5^1+C_4^1[/TEX]
=> số cách thoả mãn
[TEX](C_4^3 +1)(C_5^2+C_3^2)(C_5^1+C_4^1)[/TEX]

chờ chút là tip
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
Sai rồi bạn à, Phải chú ý rằng 12 quyển sách naỳ đôi một khác nhau, nên mọi kết quả mà bạn tìm ra đều sai lầm. Bạn hãy xem lại đi:-SS
 
M

mcdat

giangln.thanglong11a6 said:
xilaxilo làm được đáp số thì viết hẳn cách làm ra cho mọi người xem.

Còn bài BĐT làm như sau:
BĐT [TEX]\Leftrightarrow \frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} \geq 2[/TEX]

Áp dụng BĐT [TEX]\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \geq \frac{9}{x+y+z}[/TEX]
ta thu được [TEX]\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1} \geq \frac{9}{a+b+c+3} =2 [/TEX]

Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}[/TEX]

Và rõ ràng ta không cần sử dụng giả thiết a, b, c thuộc [0;1] mà chỉ cần [TEX](-1;\frac{7}{2})[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Ngoài cách giải này mọi người còn cách khác không, mình rất mong tìm được 1 lời giải ngắn gọn hoặc lời giải "lạ" xưa nay chưa từng có , mong sự hợp tác của mọi người . Thank;)
 
M

mcdat

xilaxilo said:
thì cũng băn khoăn chỗ đó nè. ở câu cuối ý. xem lại đi. có mâu thuẫn trong đề
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Đề đúng mà, có gì mâu thuẫn đâu, bạn thử giải lại đi. Nhân tiện làm luôn bài BĐT nha. mình có 1 cách giải hơi khác lạ (đối với mình :D) mà mình mới nghĩ ra. Sau mình post lên mọi người cùng góp ý nha :)>-
 
X

xilaxilo

4: Giả sử trong 6 học sinh được cho có 3 HS yêu Toán, 2 HS yêu Lý, 1 HS yêu Hóa thì có bao nhiêu cách tặng sao cho HS yêu thích môn nào thì được tặng loại sách khác sở thích đó, ngoài ra các HS cùng yêu thích 1 môn thì được sách giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách tặng sách
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
nghi ở đó kìa. hok đúng lắm.
bài của tớ chắc phải thêm mấy cái số mũ nữa mới đúng
 
Last edited by a moderator:
C

ctsp_a1k40sp

mcdat said:
Ngoài cách giải này mọi người còn cách khác không, mình rất mong tìm được 1 lời giải ngắn gọn hoặc lời giải "lạ" xưa nay chưa từng có , mong sự hợp tác của mọi người . Thank;)
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Bài này cơ bản và ngắn gọn thế này thì tìm sao đc lời giải lạ xưa nay chưa từng có :)
hay ý bạn là làm cô si kiểu này
[TEX]\frac{1}{a+1}+\frac{4}{9}(a+1) \geq \frac{4}{3}[/TEX]
xây dựng 2 bdt còn lại rồi cộng vào ta đc
[TEX]\sum \frac{1}{a+1} \geq 2[/TEX]
 
M

mcdat

ctsp_a1k40sp said:
Bài này cơ bản và ngắn gọn thế này thì tìm sao đc lời giải lạ xưa nay chưa từng có :)
hay ý bạn là làm cô si kiểu này
[TEX]\frac{1}{a+1}+\frac{4}{9}(a+1) \geq \frac{4}{3}[/TEX]
xây dựng 2 bdt còn lại rồi cộng vào ta đc
[TEX]\sum \frac{1}{a+1} \geq 2[/TEX]
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...
:D, có lẽ mình nhầm. Mọi người thử để ý tới vai trò như nhau của a, b, c xem. Có khi lại có 1 lời giải nào đó là lạ thì sao
 
Q

quynhdihoc

Bài mới đây các bạn ^^!
CM:
2<[TEX](1 + \frac {1}{n} )^n [/TEX] <3

Bài này hay lắm đó, ai có cách giải hay nhất nào. Trổ tài đi bà con ............... :D :)&gt;-
 
N

nguyenminh44

quynhdihoc said:
Bài mới đây các bạn ^^!
CM:
2<[TEX](1 + \frac {1}{n} )^n [/TEX] <3

Bài này hay lắm đó, ai có cách giải hay nhất nào. Trổ tài đi bà con ............... :D :)&gt;-
Bấm để xem đầy đủ nội dung ...

Làm vế dễ trước :p:p

[TEX]A_n=(1+\frac{1}{n})^n =(1+\frac{1}{n}).(1+\frac{1}{n}).(1+\frac{1}{n})....1[/TEX]

[TEX] \leq (\frac{n.(1+\frac{1}{n})+1}{n+1})^{n+1}[/TEX] BĐT Cauchy (AM-GM)

[TEX]\Rightarrow A_n \leq (\frac{n+2}{n+1})^{n+1} = (1+\frac{1}{n+1})^{n+1} =A_{n+1}[/TEX]

Suy ra dãy số đơn điệu tăng

Giá trị nhỏ nhất [TEX]=A_1 =2[/TEX]

Còn nếu đã học giới hạn thì sẽ tính được giá trị lớn nhất là giá trị tại vô cùng =e <3 :p
 
Q

quynhdihoc

Hì đại ca làm đúng rồi, mà cách này hay ghê ^^! mà đại ca ra yahoo đi. :D
Còn một cách khác đó là dùng pp quy nạp cũng dc ạ , cái này dùng để cm cái <3 :D
Các bạn thử làm vế kia xem nhé
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom