[Toan11]Bai tập chương giới hạn

T

tamcat

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1,C/m các PT sau luôn có nghiệm:
a)[TEX]x^4 +x^3 -3x^2+x+1=0[/TEX]
b)[TEX]x^3 +ax^2+bx +c=0[/TEX]
c)[TEX]ax^2 +bx +c=0[/TEX] với a+2b+5c=0
2,c/m cácPT sau luôn có nghiệm với mọi m:
a)[TEX]m(x-1)^3 (x-2) +2x-3=0[/TEX]
b) [TEX]x^4 +mx^2-2mx-2=0[/TEX]
c)[TEX](1-m^2)(x+1)^3 +x^2-x-3=0[/TEX]
d) cos x +mcos 2x=0
e)m(2cosx-căn2)=2sin5x +1
F)[TEX](m^2+1)x^4 -x^3-1=0[/TEX]luôn có ít nhất 2 nghiện thuộc (-1,căn2)
g)[TEX]m(x-1)^3 (x^2-4)+x^4 -3=0[/TEX]
 
Last edited by a moderator:
J

jet_nguyen

1,C/m các PT sau luôn có nghiệm:
a)[TEX]x^4 +x^3 -3x^2+x+1=0[/TEX]

đặt [tex]f(x)=x^4 +x^3 -3x^2+x+1=0 [/tex] khi đó f(x) liên tục trên R
ta có: [tex] f(-1)=-3 , f(0)=1[/tex]
vậy f(x) liên tục trên [-1,0] và f(-1).f(0)<0 [tex]\Rightarrow \exists c \in(-1,0) : f({x}_{0}=0 [/tex]
\Rightarrow PT luôn có nghiệm

b)[TEX]x^3 +ax^2+bx +c=0[/TEX]
tương tự như trên
[TEX]\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty[/TEX] nên [TEX] \exists {t}_{1}>0 \Rightarrow f({t}_{1})>0[/TEX]
[TEX]\lim_{x\to -\infty}f(x)=+\infty[/TEX] nên [TEX] \exists {t}_{2}<0 \Rightarrow f({t}_{2})<0[/TEX] \Rightarrow dpcm
c)[TEX]ax^2 +bx +c=0[/TEX] với a+2b+5c=0 {1}
ta có: [tex]f(0)=c[/tex]
[tex]f(\frac{1}{2}) = \frac{a}{4}+\frac{b}{2}+c \Rightarrow f(0).f(\frac{1}{2})=\frac{c}{4}(a+2b+ac)=\frac{-{c}^{2}}{4}[/tex]
TH1: a khác 0
-c khác 0 thì [tex] \frac{-{c}^{2}}{4} <0[/tex] => dpcm
-c=0 thì (1) có nghiệm [tex]{x}_{1}=0, {x}_{2}=\frac{-b}{a}[/tex]
\Rightarrow dpcm
TH2: a=0 thì ta có hệ bx+c=0 và 2b+5c =0

-nếu b=0 thì c=0 => hệ có vô số nghiệm => dpcm
-nếu b khác 0 thì [tex]x=\frac{-c}{b}=\frac{2}{5}[/tex]=>dpcm
 
Last edited by a moderator:
J

jet_nguyen

2,c/m cácPT sau luôn có nghiệm với mọi m:
a)[TEX]m(x-1)^3 (x-2) +2x+3=0[/TEX]
câu này là )[TEX]m(x-1)^3 (x-2) +2x-3=0[/TEX] thì phải bạn coi lại nha
b) [TEX]x^4 +mx^2-2mx-2=0[/TEX]
f(0)=-2, f(2)=14 =>dpcm
c)[TEX](1-m^2)(x+1)^3 +x^2-x-3=0[/TEX]
[tex]f(-2) = -1+{m}^{2}+4+4-3={m}^{2}+4 >0[/tex], f(0) = [tex] 1-{m}^{2} -3 =-{m}^{2}-2 <0[/tex] với mọi m =>dpcm
 
Last edited by a moderator:
J

jet_nguyen

\Leftrightarrow [tex] cosx (m+1)=0 [/tex] dễ thấy PT này luôn có nghiêm
e)m(2cosx-căn2)=2sin5x +1
[tex] f(\frac{\pi}{4})= \sqrt{2} -1 >0[/tex]
[tex]f(\frac{- \pi}{4})= -\sqrt{2}-1<0 [/tex]
F)[TEX](m^2+1)x^4 -x^3-1=0[/TEX]luôn có ít nhất 2 nghiện thuộc (-1,căn2)
[tex]f(-1)={m}^{2}+1 >0[/tex]
[tex]f(0)=-1 <0[/tex]
[tex]f(\sqrt{2})=4{m}^{2}+3-2.\sqrt{2}>0[/tex]
rồi bạn xét hai khoảng [-1,0] và [0,[tex]\sqrt{2}[/tex]] =>dpcm
g)[TEX]m(x-1)^3 (x^2-4)+x^4 -3=0[/TEX]
[tex] f(1)=-2,f(2)=13 [/tex] =>dpcm
 
Last edited by a moderator:
T

tamcat

Ý a và d tớ đánh sai,xin cáo lỗi nhé:D
Tiếp tục nhé^^
Cm Pt có nghiệm:
a)a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0;)
 
Last edited by a moderator:
J

jet_nguyen

Đặt vế trái là f(x)
Ta có f(x) là hàm đa thức nên liên tục trên R
f(a) = a(a-b)(a-c)
f(b) = b(b-c)(b-a)
f(c) = c(c-a)(c-b)
không mất tính tổng quát
Giả sử [TEX]a\leq b\leq c[/TEX]
- Nếu a=0 hoặc b=0 hoặc c=0, ta có: f(0) = 0
do đó x=0 là 1 nghiệm của phương trình
- Giả sử b#0. Ít nhất cũng có 1 trong 2 trường hợp sau:
+ Với a\leqb<0 \Rightarrow [tex]f(a).f(b) = -ab{(a-b)}^{2}(a-c)(b-c)\leq0 [/tex]
\Rightarrowphương trình có nghiệm trong đoạn [TEX](a;b )[/TEX]
+ Với 0<b\leqc \Rightarrow [tex]f(b).f(c) = -bc{(b-c)}^{2}(b-a)(b-c)\leq0 [/tex]
\Rightarrow phương trình có nghiệm trong đoạn [TEX](b;c )[/TEX]
rồi bạn giả sử tương tự với các trường hợp khác :D
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom