[toan10]

[tinasuco96]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh các BDT:
a, [TEX]\sqrt{\frac{a^2}{b}} +\sqrt{\frac{b^2}{a}}[/TEX]
b, Với a,b,c >0 và abc=1. C/m rằng:
[TEX]\sum \frac{1}{a^3(b+c)} [/TEX]
c, [tex]a^3.b^2.c+ \frac{c^2}{b^2} +\frac{b}{a.c^2} > ac+ab+1[/tex]

 

[bboy114crew]

1)
Theo Cauchy -schwarz Ta có:
[TEX]\sqrt{\frac{a^2}{b}} +\sqrt{\frac{b^2}{a}}[/TEX]
[TEX]\geq \frac{(\sqrt{a}+\sqrt{b})^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}= \sqrt{a}+\sqrt{b}[/TEX]
2)
Đặt [TEX]a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}[/TEX]
Khi đó ta có:
[TEX]\sum \frac{1}{a^3(b+c)} [/TEX]
[TEX]= \sum \frac{1}{(\frac{1}{x})^3(\frac{1}{y}+\frac{1}{z})}[/TEX]
[TEX]= \sum \frac{x^3yz}{yz}[/TEX]
[TEX]= \sum \frac{x^2}{y+z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{2(x+y+z)}=\frac{x+y+z}{2}[/TEX](Theo Cauchy -schwarz)
[TEX]= \frac{ab+bc+ac}{2}[/TEX]