[toan10] c/m BDT

[hien_vuthithanh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

x,y,z \geq 0 ,$\sum x^2$=1 .c/m : $\sum \dfrac{x}{1-yz}$\geq 1

 

[vuive_yeudoi]

x,y,z \geq 0 ,$\sum x^2$=1 .c/m : $\sum \dfrac{x}{1-yz}$\geq 1

Trước hết nhận thấy
$$ \left( x+y+z \right)^2 = 1 + 2 \left( xy+yz+zx \right) \ge 1 $$
Suy ra
$$ x+y+z \ge 1 \quad{(1)} $$
Từ $ \displaystyle (1) $ có
$$ \frac{x}{1-yz} \ge \frac{x}{x+y+z} $$
$$ \frac{y}{1-zx} \ge \frac{y}{x+y+z} $$
$$ \frac{z}{1-xy} \ge \frac{z}{x+y+z} $$
Cộng vế với vế có
$$ \frac{x}{1-yz} +\frac{y}{1-zx} + \frac{z}{1-xy} \ge \frac{x+y+z}{x+y+z}=1 $$
Đó là điều cần chứng minh .

 

[hien_vuthithanh]

Trước hết nhận thấy
$$ \left( x+y+z \right)^2 = 1 + 2 \left( xy+yz+zx \right) \ge 1 $$
Suy ra
$$ x+y+z \ge 1 \quad{(1)} $$
Từ $ \displaystyle (1) $ có
$$ \frac{x}{1-yz} \ge \frac{x}{x+y+z} $$
$$ \frac{y}{1-zx} \ge \frac{y}{x+y+z} $$
$$ \frac{z}{1-xy} \ge \frac{z}{x+y+z} $$
Cộng vế với vế có
$$ \frac{x}{1-yz} +\frac{y}{1-zx} + \frac{z}{1-xy} \ge \frac{x+y+z}{x+y+z}=1 $$
Đó là điều cần chứng minh .

anh có thể giải thích rõ hơn chỗ màu đỏ dc k ạ

_______________________________

 

[vipboycodon]

Trước hết nhận thấy
$$ \left( x+y+z \right)^2 = 1 + 2 \left( xy+yz+zx \right) \ge 1 $$
Suy ra
$$ x+y+z \ge 1 \quad{(1)} $$
Từ $ \displaystyle (1) $ có
$$ \frac{x}{1-yz} \ge \frac{x}{x+y+z} $$
$$ \frac{y}{1-zx} \ge \frac{y}{x+y+z} $$
$$ \frac{z}{1-xy} \ge \frac{z}{x+y+z} $$
Cộng vế với vế có
$$ \frac{x}{1-yz} +\frac{y}{1-zx} + \frac{z}{1-xy} \ge \frac{x+y+z}{x+y+z}=1 $$
Đó là điều cần chứng minh .

Chắc là do $yz \ge 0$ => $1-yz \le 1$......................................................

 

[thang37846310]

có thể tìm dấu = xảy ra khi nào ko ạ, em ko tìm được

 

[hien_vuthithanh]

có thể tìm dấu = xảy ra khi nào ko ạ, em ko tìm được

dấu = \Leftrightarrow x=1,y=0,z=0 và các hoán vị của nó