[toan10] bất đẳng thuc thông minh

[toiyeutunhien_123ok]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho [tex]a^2 + b^2 +c^2 \geq 1[/tex]


Không dùm đạo hàm ,CM
[tex]\frac{a}{b^2+c^2} + \frac{b}{a^2+c^2} + \frac{c}{b^2+a^2} \geq[/tex] 3(căn 3)/2

 

[silver_nmt]

a=b=1,c=0 [tex]VT \leq VP[/tex] bạn xem lại đề nhé................

 

[pedung94]

cho [tex]a^2 + b^2 +c^2 \geq 1[/tex]


Không dùm đạo hàm ,CM
[tex]\frac{a}{b^2+c^2} + \frac{b}{a^2+c^2} + \frac{c}{b^2+a^2} \geq \frac{3\sqrt[]{3}}{2}[/tex]

[tex]\frac{a}{b^2+c^2} + \frac{b}{a^2+c^2} + \frac{c}{b^2+a^2} \geq \frac{3\sqrt[]{3}}{2}[/tex]
xét.. [tex]a^2 + b^2 +c^2 = 1[/tex]

từ giả thiết ta có 0 < a,b,c <1 và [tex]M= \frac{a}{1-a^2} + \frac{b}{1-b^2} + \frac{c}{1-c^2} [/tex]
ta có [tex]M- \frac{3\sqrt[]{3}(a^2+b^2+c^2)}{2}[/tex]

[tex]= (\frac{a}{1-a^2}-\frac{3\sqrt[]{3}a^2}{2})+ (\frac{b}{1-b^2}-\frac{3\sqrt[]{3}b^2}{2})+(\frac{c}{1-c^2}-\frac{3\sqrt[]{3}c^2}{2}) [/tex]
[tex]=\frac{2+\sqrt[]{3}a}{1-a^2}(a-\frac{1}{\sqrt[]{3}})^2+\frac{2+\sqrt[]{3}b}{1-b^2}(b-\frac{1}{\sqrt[]{3}})^2+\frac{2+\sqrt[]{3}c}{1-c^2}(c-\frac{1}{\sqrt[]{3}})^2[/tex]
=> M\geq 0 với mọi a,b,c thuộc (0,1). Dấu đẳng thức có khi và chỉ khi [tex]a=b=c=\frac{1}{3}[/tex]

[tex]=> min M=\frac{3\sqrt[]{3}}{2}[/tex]

vậy với mọi [tex]a^2 + b^2 +c^2 \geq 1[/tex] thì [tex]\frac{a}{b^2+c^2} + \frac{b}{a^2+c^2} + \frac{c}{b^2+a^2} \geq \frac{3\sqrt[]{3}}{2}[/tex]

 

[bigbang195]

Cách khác nè
[TEX]VT=\sum \frac{x}{\frac{4}{3}-(x^2+\frac{1}{3})} \ge \sum{\frac{x}{\frac{4}{3}-\frac{2x}{\sqrt[]{3}}}= \sum {\frac{x^2}{\frac{2}{\sqrt[]{3}}(\frac{2}{\sqrt[]{3}}-x)x}\geq \frac{x^2}{\frac{1}{3}.\frac{2}{\sqrt[]{3}}}}=\frac{3\sqrt[]{3}}{2}[/TEX]

 

[chinhphuc_math]

Bài này áp dụng bdt x(1-x^2)\leq can 3/2 là được mà!