Toán Toán violympic 8

[linhtrangnguyen08]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{3}+b^{3}+c^{3}=1[/tex]
Tính [tex]S=a^{13}+b^{6}+c^{2009}[/tex]

 

[chi254]

Cho [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}=a^{3}+b^{3}+c^{3}=1[/tex]
Tính [tex]S=a^{13}+b^{6}+c^{2009}[/tex]

[TEX]a^2 + b^2 + c^2 = a^3 + b^3 + c^3 = 1[/TEX]
Suy ra : [TEX]- 1 \leq a ; b ; c \leq 1[/TEX]
Ta có :
[TEX]a^3 + b^3 + c^3 - a^2 - b^2 - c^2 = a^2(a - 1) + b^2(b - 1) + c^2(c - 1) \leq 0[/TEX]
Suy ra :
[TEX]a^3 + b^3 + c^3 \leq 1[/TEX]
Suy ra :a , b , c nhận hai giá trị là 0 và 1
Khi đó :
[TEX]a^{13} = a^3[/TEX];[TEX]b^6 = b^3[/TEX];[TEX]c^{2009} = c^3[/TEX]
Suy ra : [TEX]S = 1[/TEX]

 

[linhntmk123]

a^2+b^2+c^2=a^3+b^3+c^3 =1
suy ra (a^3 -a^2) +( b^3-b^2) +(c^3 - c^2)=0
(a-1)a^2 + (b-1)b^2 +(c-1)c^2=0
suy ra a,b,c nhận giá tri 0 hoạc 1
suy ra

;

;

suy ra S=1