Toán Toán violympic 8

[mysunshine185@yahoo.com]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho x và y thỏa mãn x+y=2.Giá trị nhỏ nhất của biểu thức
[tex]P=\left ( 1+x^{4} \right )\left ( 1+y^{4} \right )+4\left ( xy-1 \right )\left ( 3xy-1 \right )[/tex]

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

Min P=4 đấy vừa hôm qua mk thi xong

 

[Edogawa Conan]

Min P=4 đấy vừa hôm qua mk thi xong

bạn giải chi tiết ra xem nào

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

bạn giải chi tiết ra xem nào

[tex](1+x^{4})(1+y^{4})+4(xy-1)(3xy-1)\\=(x^{4}+1)(1+y^{4})+12x^{2}y^{2}-16xy+4\geq (x^{2}+y^{2})^{2}+12x^{2}y^{2}-16xy+4\\\geq 4x^{2}y^{2}+12x^{2}y^{2}-16xy+4=16x^{2}y^{2}-16xy+4=(4xy-2)^{2}\\ =(2-4xy)^{2}=[2-4x(2-x)]^{2}=(2-8x+4x^{2})^{2}=[4(x^{2}-2x+1)-2]^{2}\\ =[4(x-1)^{2}-2]^{2}\geq 4[/tex]
Dấu "=" xảy ra [tex]\Leftrightarrow x-1=0\Leftrightarrow x=1\Rightarrow y=1[/tex]
Vậy [tex]Min \ P=4\Leftrightarrow x=y=1[/tex]