Toán 11 Toán - về Giới hạn

7 1 2 5

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Áp dụng quy tắc L'Hospital ta có:
[tex]\underset{x \to 0}{\lim} \frac{x-\arctan x}{x^2}=\underset{x \to 0}{\lim} \frac{1-\frac{1}{x^2+1}}{2x}=\underset{x \to 0}{\lim} \frac{x}{2(x^2+1)}=0[/tex]

Nếu có gì thắc mắc bạn có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Bạn có thể tham khảo thêm các kiến thức môn học khác tại đây.
 
Last edited:
  • Like
Reactions: lanl86195
L

lanl86195

Học sinh mới
Thành viên
14 Tháng mười 2021
4
2
1
Nếu bạn có thắc mắc gì thì có thể hỏi tại đây, chúng mình luôn sẵn sàng giúp đỡ.
Chúc bạn học tốt.[/QUOTE]
có cách nào khác, không cần sử dụng L'Hospital mà vẫn làm đc không ạ
 
7 1 2 5

7 1 2 5

Cựu TMod Toán
Thành viên
19 Tháng một 2019
6,871
11,478
1,141
Hà Tĩnh
THPT Chuyên Hà Tĩnh
Đặt [TEX]\arctan x=t \Rightarrow \tan t=x[/TEX]
Ta có: [tex]\frac{x-\arctan x}{x^2}=\frac{\tan t-t}{\tan ^2t}=\frac{\tan t-t}{t^2}.(\frac{t}{\tan t})^2[/tex]
Nhận thấy [tex]\underset{t \to 0}{\lim} \frac{\tan t}{t}=\underset{t \to 0}{\lim} (\frac{\sin t}{t}.\frac{1}{\cos t})=1[/tex] nên ta sẽ đi tìm [TEX]\underset{t \to 0}{\lim} \frac{\tan t-t}{t^2}[/TEX]
Xét [TEX]t \to 0^+.[/TEX] Vì [TEX]\sin t<t<\tan t \forall 0<t<\frac{\pi}{2}[/TEX] nên ta có:
[TEX]0< \frac{\tan t-t^2}{t^2}< \frac{\tan t-\sin t}{t^2}=\frac{(1-\cos t)\sin t}{t^2\cos t}[/TEX]
Mà [TEX]\underset{t \to 0}{\lim} \frac{(1-\cos t)\sin t}{t^2\cos t}=\underset{t \to 0}{\lim} [\frac{1-\cos t}{t^2}.\frac{\sin t}{t}.\frac{t}{\cos t}]=\underset{t \to 0}{\lim} [\frac{2.\sin^2(\frac{x}{2})}{x^2}.\frac{\sin t}{t}.\frac{t}{\cos t}]=\underset{t \to 0}{\lim}[(\frac{\sin \frac{x}{2}}{\frac{x}{2}})^2.\frac{1}{2}.\frac{\sin t}{t}.\frac{t}{\cos t}]=\frac{1}{2}.1.0=0[/TEX]
Theo nguyên lí kẹp thì [TEX]\underset{t \to 0^+}{\lim} \frac{\tan t-\sin t}{t^2}=0[/TEX]. Tương tự thì [TEX]\underset{t \to 0^-}{\lim} \frac{\tan t-\sin t}{t^2}=0[/TEX] nên [TEX]\underset{t \to 0}{\lim} \frac{\tan t-\sin t}{t^2}=0[/TEX]
 
Last edited:
  • Like
Reactions: Kaito Kidㅤ and lanl86195
You must log in or register to reply here.
Top Bottom