Toán về cực trị

[g_dragon88]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Cho M =[TEX]\frac{ a^2 + ab+ b^2}{ a^2 - ab + b^2}[/TEX]. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M khi a, b thay đổi không đồng thời bằng 0.
2, Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = [TEX] x^2 + y^2[/TEX] biết x, y là 2 số thực thỏa mãn : [TEX] x^2 + y^2[/TEX] -4x+3=0
3, Các cạnh của 1 tam giác vuông có độ dài là các số nguyên. 2 trong các số đó là các số ngyên tố và hiệu của chúng là 50. Hãy tính giá trị nhỏ nhất có thể được của cạnh thứ ba.


P/s: Mọi người làm giúp mình với nhé! Thanks nhiều!

 

[nguyenbahiep1]

1, Cho M =[TEX]\frac{ a^2 + ab+ b^2}{ a^2 - ab + b^2}[/TEX]. Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của M khi a, b thay đổi không đồng thời bằng 0.

[laTEX]M = \frac{ (\frac{a}{b})^2+\frac{a}{b}+1}{ (\frac{a}{b})^2-\frac{a}{b}+1} \\ \\ \\ \frac{a}{b} = x \\ \\ M = \frac{x^2+x+1}{x^2-x+1} \\ \\ (M-1)x^2 -(M+1)x+M-1 =0 \\ \\ \Delta = (M+1)^2 - 4(M-1)^2 \geq 0 \\ \\ (3-M)(3M-1) \geq 0 \Rightarrow \frac{1}{3} \leq M \leq 3[/laTEX]

đến đây đơn giản rồi

 

[baihocquygia]

đội 7

Ta có
x^2+y^2-4x+3=0
\Leftrightarrow (x-1)(x-3)=-y^2 \leq 0 \Leftrightarrow 1\leq x \leq 3
mặt khác P= x^2+y^2 = x^2-x^2+4x-3=4x-3
kết hợp với trên ta có 1\leq P \leq 9 \Rightarrow GTNN và GTLN
Dấu bằng khi GTNN là x=1 và y=0 và GTLN x=3 và y=0

 

[phuong_july]

Đội 2

Ta thấy trong tam giác vuông, hai cạnh góc vuông phải có ít nhất một cạnh có số đo chẵn, nếu hai cạnh cùng có số đo lẻ thì suy ra số chính phương (cạnh huyền) chia cho 4 dư 2(mâu thuẫn).
Do đó, nếu hiệu hai cạnh góc vuông là 50 thì tồn tại 1 cạnh số đo là $2$, 1 cạnh số đo $52$, không có số đo cạnh huyền $\in \mathbb{N}$. Vậy $50$ là hiệu số đo canh huyền và 1 cạnh góc vuông.
Gọi 2 cạnh góc vuông và cạnh huyền có độ dài lần lượt là $a,b,c\in \mathbb{N}$, ta có
$a^2+b^2=c^2$\Leftrightarrow $a^2=c^2-b^2=50(b+c)=100(b+25)$
Do đó, $b+25$ là số chính phương
Đặt $b+25=k^2$
\Leftrightarrow $b=(k-5)(k+5)$
Do b nguyên nên b nhỏ nhất khi $k-5 \in Z$ và $k-5$ nhỏ nhất.
mà $k-5$\geq 1.
\Rightarrow b \geq 11
Do đó $a^2=100(b+25)$\geq $100\cdot (11+25)=3600$\Leftrightarrow a\geq60