Toán về bất đẳng thức và cực trị 9

[nhokngok2]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a là số thỏa mãn [TEX]a + \frac{1}{a} = 1[/TEX]. Hãy thu gọn biểu thức [TEX] P = a^{2015} + \frac{1}{a^{2016}}[/TEX].

Bài 2: Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng :
[TEX]\frac{ab}{c+1} + \frac{bc}{a+1} + \frac{ca}{b+1} \leq \frac{1}{4}[/TEX].

Bài 3: Cho [TEX]A_n = \frac{1}{(2n+1)\sqrt{2n-1}}[/TEX] với n thuộc số tự nhiên khác 0. Chứng minh rằng: [TEX]A_1 + A_2 + A_3 + .... + A_n \leq 1[/TEX].

Bài 4: Cho a > 1, b>1. Tìm giá trị nhỏ nhất của [TEX]M = \frac{a^2}{b-1} + \frac{b^2}{a-1}[/TEX].

Bài 5: Cho số a không đổi các số thực x,y thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất cả biểu thức:
[TEX]F(x;y) = (x-2y+1)^2 + (2x+ay+5)^2[/TEX]

Bài 6: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn ab+bc+ca = 3. Chứng minh rằng : [TEX]\frac{a^3}{b^2+3} + \frac{b^3}{c^2+3} + \frac{c^3}{a^2+3} \geq \frac{3}{4}[/TEX].

Bài 7: Nếu u,v dường , u + v = 1 thì [TEX](u+\frac{1}{u})^2 + (v+\frac{1}{v})^2 \geq \frac{25}{2}[/TEX]


Mình xin cám ơn ai chỉ mình

 

[lp_qt]

Câu 4

Bài 4: Cho $a > 1, b>1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của $M = \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{a-1}$.

$M = \dfrac{a^2}{b-1} + \dfrac{b^2}{a-1} \ge \dfrac{(a+b)^2}{a+b-2}$

dấu = xảy ra $\Longleftrightarrow a=b$

Xét: $\dfrac{t^2}{t-2}=\dfrac{(t-2)^2+4(t-2)+4}{t-2} =(t-2)+\dfrac{4}{t-2}+4 \ge 2.\sqrt{(t-2).\dfrac{4}{t-2}}+4=...$ với $t=a+b > 2$

 

[lp_qt]

Bài 7: Nếu $u,v >0 , u + v = 1$ thì $(u+\dfrac{1}{u})^2 + (v+\dfrac{1}{v})^2 \ge \dfrac{25}{2}$

$(u+\dfrac{1}{u})^2+(v+\dfrac{1}{v})^2 \ge \dfrac{(u+v+\dfrac{1}{u}+\dfrac{1}{v})^2}{2} \ge \dfrac{(u+v+\dfrac{4}{u+v})^2}{2}=\dfrac{25}{2}$

Khi $u=v=\dfrac{1}{2}$

Bài 1:

$a+\dfrac{1}{a}=1 \Longleftrightarrow a^2-a+1=0$ vô nghiệm

Không tồn tại giá trị biểu thức

 

[lp_qt]

Bài 6: Cho 3 số thực dương a,b,c thỏa mãn $ab+bc+ca = 3$. Chứng minh rằng : $\dfrac{a^3}{b^2+3} + \dfrac{b^3}{c^2+3} + \dfrac{c^3}{a^2+3} \ge \dfrac{3}{4}$

.

$(a+b+c)^2 \ge 3(ab+bc+ac)=9 \Longrightarrow a+b+c \ge 3$

$b^2+3=b^2+ab+bc+ca=(a+b)(b+c)$

$\dfrac{a^3}{b^2+3}=\dfrac{a^3}{(a+b)(b+c)}$

$\dfrac{a^3}{(a+b)(b+c)}+\dfrac{a+b}{8}+\dfrac{b+c}{8} \ge 3.\sqrt[3]{\dfrac{a^3}{(a+b)(b+c)}.\dfrac{a+b}{8}.\dfrac{b+c}{8}}=\dfrac{3}{4}a$

tương tự, ta có:

$P +\dfrac{1}{2}(a+b+c) \ge \dfrac{3}{4}(a+b+c) \Longrightarrow P \ge \dfrac{1}{4}(a+b+c) \ge \dfrac{3}{4}$