[Toán] Tính chia hết đối với số nguyên

D

daorin

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chứng minh:
a,[TEX] 16^n -15n-1[/TEX] chia hết 225
b,[TEX] 27195^8 - 10887^8 + 10152^8 [/TEX] chia hết 26460
c,[TEX] 46^n + 298*13^n[/TEX] chia hết 1947
d, [TEX]2903^n - 803^n - 464^n +261^n[/TEX] chia hết 1897 (n lẽ, n thuộc N)
e,[TEX]n^4 -4n^3 - 4 n^2 + 16n[/TEX] chia hết 384
 
Last edited by a moderator:
H

harrypham

d, Áp dụng hằng đẳng thức [TEX]a^n-b^n \ \vdots (a-b)[/TEX].
Ta có [TEX]2903^n-464^n \ \vdots (2903-464) \Rightarrow 2903^n-464^n \ \vdots 2439 \Rightarrow 2439^n-464^n \ \vdots 271[/TEX].
[TEX]803^n-261^n \ \vdots (803-261) \Rightarrow 803^n-261^n \ \vdots 542 \Rightarrow 803^n-261^n \ \vdots 271[/TEX].

Vậy [TEX]2903^n-803^n-464^n+261^n=(2903^n-464^n)-(803^n-261^n)[/TEX] chia hết cho [TEX]271[/TEX].

Tương tự [TEX]2903^n-803^n \ \vdots 7[/TEX] và [TEX]464^n-261^n \ \vdots 7[/TEX].
Khi đó [TEX]2903^n-803^n-464^n+261^n=(2903^n-803^n)-(464^n-261^n)[/TEX] chia hết cho [TEX]7[/TEX].

Do [TEX](7,271)=1[/TEX] nên [TEX]2903^n-803^n-464^n+261^n[/TEX] chia hết cho [TEX]7.271=1897[/TEX].
P/s: Có lẽ không cần đk n lẻ thì phải.

e, Câu này phải cho thêm đk n chẵn.
[TEX]n^4-4n^3-4n^2+16n[/TEX]
[TEX]=n(n^3-4n^3-4n+16)[/TEX]
[TEX]=n[n(n^2-4)-4(n^2-4)][/TEX]
[TEX]=n(n-4)(n-2)(n+2)[/TEX].
Do [TEX]n[/TEX] chẵn, đặt [TEX]n=2k \quad ( k \in \mathbb{Z})[/TEX].
Ta có [TEX]n(n-4)(n-2)(n+2)=16(k-2)(k-1)k(k+1)[/TEX].
Ta có [TEX]k-2,k-1,k,k+1[/TEX] là bốn số nguyên liên tiếp nên tồn tại một số chia hết cho 3, một số chia hết cho 4 và một số chia hết cho 2.
Tức [TEX](k-2)(k-1k(k+1)[/TEX] chia hết cho [TEX]4.2.3=24[/TEX].
Vậy [TEX]n^4-4n^3-4n^2+16n[/TEX] chia hết cho [TEX]24.16=384[/TEX].
Ta có đpcm.

c. Phân tích [TEX]1497=3.11.59[/TEX].
Mình nghĩ đề nên là [TEX]46^n+296.13^n[/TEX] chia hết [TEX]1947[/TEX] với n lẻ
Khi đó ta sẽ phân tích [TEX]46^n+297.13^n-13^n[/TEX].
Ta có [TEX]297[/TEX] chia hết cho [TEX]11[/TEX] và [TEX]3[/TEX] nên [TEX]297.13^n[/TEX] chia hết cho [TEX]11[/TEX] và [TEX]3[/TEX].
Lại có [TEX]46^n-13^n[/TEX] cũng chia hết cho [TEX]11[/TEX] và [TEX]3[/TEX].
Nên [TEX]46^n+296.13^n[/TEX] chia hết cho [TEX]11[/TEX] và [TEX]3[/TEX].

Tiếp tục phân tích [TEX]46^n+296.13^n=46^n+295.13^n+13^n[/TEX]
Ta có [TEX]295 \vdots 59 \Rightarrow 295.13^n \vdots 59[/TEX].
Và [TEX]46^n+13^n \vdots 59[/TEX] (do n lẻ).
Nên [TEX]46^n+296.13^n[/TEX] chia hết cho [TEX]59[/TEX].

Vậy [TEX]46^n+296.13^n[/TEX] chia hết cho [TEX]1497[/TEX].

a. Quy nạp thôi!!
Với [TEX]n=1[/TEX] đúng.
Gỉa sử đúng với [TEX]n=k[/TEX], tức [TEX]16^k-15k-1[/TEX] chia hết cho [TEX]225[/TEX].
Ta sẽ chứng minh bài toán đúng với [TEX]n=k+1[/TEX].
Thật vậy [TEX]16^{k+1}-15(k+1)-1=16(16^k-15k-1)+225k[/TEX] chia hết cho [TEX]225[/TEX].
Ta có đpcm.
 
Last edited by a moderator:
T

trang_dh

bài toán đúng vs mọi n

[TEX]16^{n}-15n-1[/TEX] chia hết 225
cm bang phuong phap quy nap
trước hết ta cm bài toán đúng vs n=1 đúng
g/s bài toán đúng vs n=k tức là
[TEX]16^k-15k-1[/TEX]
ta cm bài toán đúng vs mọi n=k+1 tức là cm
[TEX]16^{k+1}-15(k+1)-1[/TEX] chia hết cho 225
[TEX]16^{k+1}-15(k+1)-1[/TEX] =[TEX]16^k.16-15k-16[/TEX]=[TEX]16(16^k-15k-1)+15.15k[/TEX]=[TEX]16(16^k-15k-1)+225k[/TEX]
[TEX]16^k-15k-1[/TEX] chia hết cho 225(gt quy nạp)
225k chia hết cho 225
\Rightarrow[TEX]16^{k+1}-15(k+1)-1[/TEX] chia hết cho 225\Rightarrowbài toán đúng vs mọi n
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom