1. Cho x,y là 2 số thực khác 0 thoả mãn [TEX]x^2 + y^2 = 1[/TEX]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức [TEX]F=\frac{xy}{x-y+1}[/TEX]
Liên tưởng đến :${\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1$
\[\begin{array}{*{20}{c}}
{x = \sin \alpha ;y = \cos \alpha } \\
{F = \frac{{xy}}{{x - y + 1}} = \frac{{\sin \alpha .\cos \alpha }}{{\sin \alpha - \cos \alpha + 1}}} \\
{ + t = \sin \alpha - \cos \alpha \to {t^2} = 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha \to \sin \alpha \cos \alpha = \frac{{1 - {t^2}}}{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left( {\left| t \right| \le \sqrt 2 } \right)} \\
{ = > F = \frac{{1 - {t^2}}}{{2\left( {t + 1} \right)}} = \frac{{ - \left( {t - 1} \right)\left( {t + 1} \right)}}{{2\left( {t + 1} \right)}} = \frac{{ - \left( {t - 1} \right)}}{2}} \\
{TH1:{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 0 \le {\mkern 1mu} {\kern 1pt} t \le \sqrt 2 = > {F_{\max }} = \frac{1}{2}} \\
{TH2: - \sqrt 2 \le t < 0 = > {F_{\max }} = \frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}} \\
\end{array}\]
Kết luận giá trị lớn nhất là \[\frac{{\sqrt 2 + 1}}{2}\]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn