1)
[tex]\left ( 1-a \right )(1-b)(1-c)\geq 0\\\Leftrightarrow 1-a-b-c+ab+bc+ca-abc\geq 0\\\Leftrightarrow 1\geq a+b+c-ab-bc-ca+abc\geq a+b^{2}+c^{3}-ab-bc-ca[/tex]
(Từ [tex]a,b,c\in [0;1]\Rightarrow b\geq b^{2},c\geq c^{3},abc\geq 0[/tex])
Xét điều kiện dấu bằng.
2)ĐKXĐ:[tex]x,y\geq 0[/tex]
[tex]A=2x-2\sqrt{xy}+y-2\sqrt{x}+3=\left ( \sqrt{x}-\sqrt{y} \right )^{2}+\left ( \sqrt{x}-1 \right )^{2}+2\geq 2[/tex]
[tex]\Rightarrow A min=2\Leftrightarrow x=y=1[/tex]
A có GTNN.
3) Trừ 2 pt theo vế ta được:
[tex]x^{3}-y^{3}=2y-2x\Leftrightarrow (x-y)\left ( x^{2}+xy+y^{2}+2 \right )=0\Leftrightarrow x=y[/tex]
Thay x=y vào pt1:
[tex]x^{3}+1=2x\Leftrightarrow \left ( x-1 \right )\left ( x^{2}+x-1 \right )=0[/tex]
Giải pt, tìm nghiệm rồi suy ra y.
4)
CM: [tex]ab+bc+ca\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}[/tex]
BĐT[tex]\Leftrightarrow 2(ab+bc+ca)\leq 2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )\\\Leftrightarrow \left ( a-b \right )^{2}+\left ( b-c \right )^{2}+\left ( c-a \right )^{2}\geq 0[/tex] (luôn đúng)
CM: [tex]a^{2}+b^{2}+c^{2}\leq 2\left ( ab+bc+ca \right )[/tex]
Từ BĐT a<b+c[tex]\Rightarrow a^{2}<a(b+c)[/tex]
CMTT:[tex]b^{2}<b(c+a),c^{2}<c(a+b)[/tex]
Cộng các bđt trên theo vế ta được bđt cần chứng minh.
5)ĐKXĐ: [tex]x,y,z>2009[/tex]
PT[tex]\Leftrightarrow \left ( \frac{\sqrt{x-2009}-1}{x-2009}-\frac{1}{4} \right )+\left ( \frac{\sqrt{y-2009}-1}{y-2009}-\frac{1}{4} \right )+\left ( \frac{\sqrt{z-2009}-1}{z-2009}-\frac{1}{4} \right )=0[/tex]
6)ĐKXĐ: [tex]y\geq 0[/tex]
P=[tex]\left ( x-\frac{\sqrt{y}-1}{2} \right )^{2}+\frac{3}{4}\left ( \sqrt{y}-\frac{1}{3} \right )^{2}+\frac{2}{3}\geq \frac{2}{3}[/tex]
[tex]\Rightarrow Pmin=\frac{2}{3}\Leftrightarrow x=\frac{-1}{3},y=\frac{1}{9}[/tex]
PT:
[tex]10\sqrt{x^{3}+1}=3\left ( x^{2}+2 \right )\Leftrightarrow 10\sqrt{\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}-x+1 \right )}=3\left [ (x+1)+\left ( x^{2}-x+1 \right ) \right ][/tex]
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
