{ Toán thi vào 10 THPT } đề thi chuyên

[kira_l]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

nguồn : Album của chị ĐƠ )

 

[trang14]

Đề 1:
1/
b/ Giả sử có 4 số nguyên dương liên tiếp là n, n+1, n+2, n+3.
[TEX]P= n.(n+1).(n+2).(n+3) = (n^2+3n).(n^2+3n+2)= (n^2+3n)^2 + 2.(n^2+3n)[/TEX]
[TEX](n^2+3n)^2 < P < (n^2+3n+1)^2[/TEX]

---> P ko thể là số chính phương
2/
a/ĐK: a khác -1, a khác -b ( b khác 1)
[TEX]P= \frac{a^2.(1+a)-b^2.(1-b)-a^2b^2(a+b)}{(a+b).(1+a).(1-b)}[/TEX]
[TEX]P= a-b+ab[/TEX]
b/P=5 \Leftrightarrow a-b+ab = 5 \Leftrightarrow (a-1).(1+b) = 4
+) a-1 =1; 1+b=4 ---> a=2; b=3
+) a-1 =2; 1+b=2 ---> a=3; b=1 (loại)
+) a-1=4; 1+b=1 ---> a=5; b=0
+) a-1=-1; 1+b=-41 ---> a=0; b=-5
+) a-1=-2; 1+b= -4 ---> a=-1; b=-3 (loại)
+) a-1= -4; 1+b=-1 ---> a=-3; b=-2
các cặp (a;b) cần tìm là: (2;3), (5;0), (0;-5), (-3;-2)
3/
[TEX]P= \frac{(a-b).(2a-c)}{a.(a-b+c)} = \frac{(1-\frac{b}{a}).(2-\frac{c}{a})}{1-\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}[/TEX]
Áp dụng đl Viet có:
[TEX]x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}[/TEX]
[TEX]x_1.x_2 = \frac{c}{a}[/TEX]

---> [TEX]P = 2- \frac{x_1.x_2.(3+x_1+x_2)}{1+x_1+x_2+x_1.x_2}[/TEX]
Có:
[TEX]A= \frac{x_1.x_2.(3+x_1+x_2)}{1+x_1+x_2+x_1.x_2} \geq 0[/TEX]
--> [TEX]P=2-A \leq 2-0 = 2[/TEX]Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow x_1.x_2=0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow c=0; \frac{-b}{a}.thuoc.doan [0;1][/TEX]
Mặt khác:
[TEX]A= \frac{3x_1x_2+x_1x_2.(x_1+x_2)}{(x_1+1).(x_2+1)} \leq \frac{3.\frac{x_1+x_2)^2}{4}+\frac{(x_1+x_2)^2}{4}.(x_1+x_2)}{(x_1+1).(x_2+1)}[/TEX]
[TEX]= \frac{\frac{3}{4}.(x_1+x_2).(x_1+x_2)+\frac{x_1+x_2)}{4}.(x_1+x_2).(x_1 + x_2)}{(x_1+1).(x_2+1)} \leq \frac{\frac{3}{4}.(x_1+1).(x_2+1)+\frac{1+1}{4}.(x_1+1).(x_2+1)}{(x_1+1).(x_2+1)} = \frac{5}{4}[/TEX]

Đẳng thức xảy ra [TEX]\Leftrightarrow x_1 = x_2 = 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow b^2=4ac; -b=2a[/TEX]

--->[TEX] P= 2-A \geq 2- \frac{5}{4} = \frac{3}{4}[/TEX]

Dấu = xảy ra [TEX]\Leftrightarrow b^2=4ac; -b=2a[/TEX]

Vậy: [TEX]Pmax= 2[/TEX]
[TEX]Pmin= \frac{3}{4}[/TEX]

 

[trang14]

Đề 3:
1/
ĐK: x khác 1, x thuộc R.
cứ phân tích đa thức thành nhân tử mà diệt )
kq: [TEX]( x+\frac{x}{x-1}-1)^3 = 1[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow x + \frac{x}{x-1}=2 \Leftrightarrow x^2 - 2x +2 = 0[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow (x-1)^2 + 1 = 0 [/TEX](vô nghiệm)

Vậy hệ đã cho vô nghiệm.

2/
Trong 3 số x,y,z luôn tồn tại 2 số sao cho tích của chúng là 1 số ko âm.
Nếu [TEX]xz\geq0[/TEX], ta có:
[TEX]x^2+y^2+z^2 \leq (x+z)^2 +y^2 = 2y^2 \leq 2 \Rightarrow x^2 + y^4 + z^6 \leq x^2 +y^2+z^2 \leq2[/TEX]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi z=0, x=-1,y=1
các trường h ợp khác xét tương tự.
3/
Với n=1: thoả mán.
Với n>1:
+) n lẻ: [TEX](n^n +1 )chia.het.cho(n+1)[/TEX] và ([TEX]n^n+1)>(n+1)[/TEX]
+)[TEX]n= 2^k.t [/TEX]với k>0,tlẻ. Khi đó:[TEX] n^n=n^{2k.t}[/TEX] --> [TEX]n^n+1 [/TEX]chia hết cho[TEX] n^{2k}+1[/TEX]
+) Nếu [TEX]n= 2^k[/TEX], có: [TEX]16^16 +1 = (2^{10)^6[/TEX].[TEX]16+1 > (10^3)^6.10=10^{19}[/TEX] --> n<16
thử vs n=2,4,8 thấy thoả mãn.

Đề sp 2000-2001 :-j