Toán thi hsg

[thuytrangnbk20]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức sau:

$\dfrac{x^2}{1+x}$

2) Phân tích đa thức thành nhân tử:

$x^4+2008x^2+2007x+2008$

3) Chứng minh rằng: N= $n^3+6n^2-19n-12$ chia hết cho 6.

4) Tìm các số nguyên x, y thỏa mãn:

$2x^2-xy-y^2-8$=0

5) Cho a,b,c là các số hữu tỉ khác 0 thoả mãn a + b + c = 0

CMR: M=$ \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{1}{b^2} + \dfrac{1}{c^2}$ là bình phương của một

số hữu tỉ.

6) Cho a, b, c là các số không âm và không lớn hơn 2 thả mãn a+b+c=3

CMR: $a^2 + b^2 + c^2$ \leq 5.

 

[thaolovely1412]

Bài 2
[TEX]x^4 +2008x^2+2007x+2008[/TEX]
[TEX]= x^4 +2008x^2+2008x-x+2008 [/TEX]
[TEX]= x(x^3-1)+2008(x^2+x+1) [/TEX]
[TEX]= x(x-1)(x^2+x+1)+2008(x^2+x+1) [/TEX]
[TEX]= (x^2+x+1)(x^2-x+2008) [/TEX]

 

[thaolovely1412]

Bài 3
Ta có
[TEX]N=n^3+6n^2-n-18n-24[/TEX]
[TEX]=n(n^2-1)-18n+6(n+2)(n-2)[/TEX]
[TEX]=n(n+1)(n-1)-18n+6(n+2)(n-2)[/TEX]
Ta thấy: [TEX]n(n+1)(n-1)[/TEX] là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên [TEX]n(n+1)(n-1) \vdots 6[/TEX]
[TEX]18n=6.3n \vdots 6[/TEX]
[TEX]6(n+2)(n-2) \vdots 6[/TEX]
\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

Câu 6:
Ta có: ${(a+b+c)^2}={a^2}+{b^2}+{c^2}+2(ab+bc+ca)=9$
Để c/m ${a^2}+{b^2}+{c^2}$ \leq 5 thì c/m $2(ab+bc+ca)$ \geq 4

Do 3 số a;b;c không lớn hơn 2 nên
$(2-a)(2-b)(2-c)$ \geq 0
Nhân tung ra , được:
$8-4(a+b+c)+2(ab+bc+ac)-abc$ \geq 0
\Leftrightarrow $8-4.3+2(ab+bc+ca)-abc$ \geq 0
\Leftrightarrow $2(ab+bc+ca)$ \geq $abc+4$ \geq 4 (Do a;b;c không âm)
\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

Câu 5"
Ta có:${(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})^2}$
$=\dfrac{1}{{a^2}}+\dfrac{1}{{b^2}}+\dfrac{1}{{c^2}}+2(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca})$
$=\dfrac{1}{{a^2}}+\dfrac{1}{{b^2}}+\dfrac{1}{{c^2}}+2.\dfrac{a+b+c}{abc}$
$=\dfrac{1}{{a^2}}+\dfrac{1}{{b^2}}+\dfrac{1}{{c^2}}$
\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

Câu 5:Đưa về PT ước số:
$(x-y)(2x+y)=8$
Đến đây xét các TH ước của 8 là xong.

 

[thaolovely1412]

Bài 5
[TEX]M= \frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}[/TEX]
[TEX]=\frac{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{a^2b^2c^2}[/TEX]
mà a+b+c=0
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+bc=0[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]a^2+b^2+c^2 = -2(ab+bc+ca) [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2+b^2+c^2)^2=[-2(ab+ac+bc)]^2[/TEX]
\Leftrightarrow [TEX](a^2 +b^2 +c^2)^2 =4 [a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2 + 2abc(a+b+c)] [/TEX]
\Leftrightarrow [TEX]\frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{4}= a^2b^2 + b^2c^2 + c^2a^2[/TEX]
\Rightarrow [TEX]M = \frac{(a^2+b^2+c^2)^2:4}{a^2b^2c^2}[/TEX]
[TEX]M=(\frac{a^2+b^2+c^2}{2abc})^2[/TEX]
Vì a,b,c là các số hữu tỷ \Rightarrow M là bình phương của số hữu tỷ

 

[thinhrost1]

1) Tìm GTLN hoặc GTNN của biểu thức sau:

$\dfrac{x^2}{1+x}$

ĐKXĐ:...

Đặt $A=\dfrac{x^2}{1+x}$

Nên: $\dfrac{1}{A}=\dfrac{x+1}{x^2}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}$

Đặt $\dfrac{1}{x}=y$, ta có:

$\dfrac{1}{A}=y+y^2=y^2+2.\dfrac{1}{2}.y+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{4}=(y+\dfrac{1}{2})^2-\dfrac{1}{4} \geq -\dfrac{1}{4} \Leftrightarrow A \geq -4$

Min A là -4 $\Leftrightarrow y=\dfrac{1}{x}=-\dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x=-2$

 

[eye_smile]

Lấy VD nhá:
$\dfrac{1}{-5}>\dfrac{-1}{4}$
nhưng $-5>-4$ là sai

Bài trên chưa biết A âm hay dương, bạn suy theo cách ấy sẽ sai.

Và lấy x=-3 đi, A=-4,5
Thấy ngay kết quả trên sai.

 

[thinhrost1]

Lấy VD nhá:
$\dfrac{1}{-5}>\dfrac{-1}{4}$
nhưng $-5>-4$ là sai

Bài trên chưa biết A âm hay dương, bạn suy theo cách ấy sẽ sai.

Và lấy x=-3 đi, A=-4,5
Thấy ngay kết quả trên sai.

Tks, bạn nói mới để ý thấy bài trên nếu thay x=-\infty thì nó sẽ vô cùng nhỏ và ngược lại