Toán 6 Toán thi học sinh giỏi

[Nguyễn Linh_2006]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho 51 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 100.
C/m: tồn tại ít nhất 2 số trong 51 số trên có tổng bằng 101

 

[0948207255]

Giả sử không tồn tại 2 số có tổng =101

Chia 100 số trên thành 2 nhóm

Nhóm 1 : 1;2;3;..;49;50
Nhóm 2 : 100;99;..52;51
(Mỗi nhóm có 50 số hạng)

Với 1 số bất kỳ thuộc 1 nhóm, ta luôn tìm được số tương ứng ở nhóm còn lại sao cho tổng của chúng =101

Nghĩa cứ 2 số thì chỉ có 1 số tồn tại

Như vậy, trong 100 số ở bài toán chỉ có 50 số tồn tại

Nhưng đề bài cho 51 số

Nên điều giả sử là sai

Do đó điều phải chứng minh đúng

 

[lengoctutb]

Cho 51 số nguyên dương khác nhau không vượt quá 100.
C/m: tồn tại ít nhất 2 số trong 51 số trên có tổng bằng 101

Gọi tập $A$ là tập thỏa mãn đề bài với $A=\{a_{1};a_{2};\cdot;a_{50};a_{51}\}$$,$ $1 \leq a_{i} \leq 100$ $(i=\overline{1,51})$
Xét tập $B=\{b_{1};a_{2};\cdot;b_{50};b_{51}\}$ với $b_{i}=101-a_{i} \Rightarrow 1 \leq b_{i} \leq 100$ $(i=\overline{1,51})$
Ta có $:$ Do tập $A$ có $51$ phần tử đều phân biệt nên tập $B$ cũng có $51$ phần tử đều phân biệt. Vậy nên tập $A$ và tập $B$ có tổng cộng $102$ phần tử mà các phần tử này thuộc $[1;100]$. Nên theo nguyên lý $Dirichlet$ thì tồn tại ít nhất hai phần tử, mỗi phần tử thuộc mỗi tập trùng nhau$.$
Ta giả sử đó là $:$ $b_{k}=101-a_{k} \Leftrightarrow b_{k}+a_{k}=101$
Khi đó ta có điều phải chứng minh $!$