[Toán thảo luận] Nét đẹp của định lí 4 điểm

[letrang3003]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Trong quá trình mở rộng định lí Pytago , ta được định lí 4 điểm như sau :

Với 4 điểm A,B,C,D ta luôn có: AC vuông góc với BD khi và chỉ khi [TEX]AB^2+CD^2=AD^2+BC^2[/TEX].
Hai ứng của định lí này về mối quan hệ giữa các cạnh với hai đường chéo của một tứ giác là :

1, Nếu tổng bình phương các cặp cạnh đối diện của tứ giác bằng nhau thì hai đường chéo của nó bằng nhau và ngược lại .
2,Nếu tổng bình phương hai cạnh đối diện của tứ giác bằng tổng bình phương hai đường chéo thì hai cạnh đối điện còn lại của tứ giác vuông góc với nhau.

Nét đẹp của định lí 4 điểm là các tứ giác mà chúng ta xét trong hai ứng dụng không nhất thiết là tứ giac lồi mà có thể là tứ giác lõm ,đơn hay ko đơn .


Bài tập ứng dụng :
Cho hình chữ nhật ABCD . Trên tia đối của tia DA và tia đối của tia CB lần lượt lấy 2 điểm F và E sao cho DF =CE=CD . Trên tia đối của tia CD lấy điểm H sao cho CH=CB. CHứng mình rằng AE vuông góc với FH

 

[namthien0402]

Anh làm bài tập ứng dụng nha .
Em tự vẽ hình vô .
Đặt AB=x , BC=y.
Ta có DF=CE=CD=EF=x
CH=BC=y
Sử dụng định lí PY ta go
[TEX]AH^2+EF^2=2x^2+2xy+2y^2[/TEX](1)
[TEX]AF^2+HE^2=2x^2+2xy+2y^2[/TEX](2)
Từ (1),(2) \Rightarrow [TEX]AH^2+EF^2=AF^2+HE^2[/TEX]
Theo định lí " Nếu tổng bình phương các cặp cạnh đối diện của tứ giác bằng nhau thì hai đường chéo của nó bằng nhau và ngược lại ." \Rightarrow AE vuông góc FH