toán thắc mắc

H

harrypham

Ta có
B=1+2+3++n=n(n+1)2B= 1+2+3+ \cdots + n= \dfrac{n(n+1)}{2}
A=1.2+2.3++n(n+1)    3A=1.2.(30)+2.3.(41)++n(n+1)[(n+2)(n1)]    3A=1.2.30.1.2+2.3.41.2.3++n(n+1)(n+2)(n1)n(n+1)    3A=n(n+1)(n+2)    A=n(n+1)(n+2)3\begin{aligned} A=1.2+2.3+ \cdots + n(n+1) & \implies 3A= 1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+ \cdots + n(n+1)[(n+2)-(n-1)] \\ & \implies 3A=1.2.3-0.1.2+2.3.4-1.2.3+ \cdots + n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1) \\ & \implies 3A=n(n+1)(n+2) \\ & \implies A= \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3} \end{aligned}

Quay lại bài toán thì 12+22++n2=1.(21)+2.(31)++n.[(n+1)1]=(1.2+2.3++n(n+1))(1+2++n)=AB=2n(n+1)(n+263n(n+1)6=n(n+1)(2n+1)6\begin{aligned} 1^2+2^2+ \cdots +n^2 & = 1.(2-1)+2.(3-1)+ \cdots + n.[(n+1)-1] \\ & = \left( 1.2+2.3+ \cdots + n(n+1) \right) - \left( 1+2+ \cdots + n \right) \\ & = A-B \\ & = \frac{2n(n+1)(n+2}{6}- \frac{3n(n+1)}{6} \\ & = \boxed{\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}} \end{aligned}
 
L

luffy_1998

Cách khác:
Đẳng thức đúng với p = 1.
Giả sử 12+22+...+k2=k(k+1)(2k+1)61^2 + 2^2 + ... + k^2 = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1)}{6}
12+22+...+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)(2k2+k+6k+6)6=(k+1)(k+2)(2k+3)6\rightarrow 1^2 + 2^2 + ... + (k + 1)^2 = \dfrac{k(k + 1)(2k + 1) + 6(k + 1)^2}{6} = \dfrac{(k + 1)(2k^2 + k + 6k + 6)}{6} = \dfrac{(k + 1)(k + 2)(2k + 3)}{6}
\rightarrow Đẳng thức đúng với p=kp = k thì cũng đúng với p=k+1p = k + 1
Vậy mệnh đề đúng với pN∀ p \in N^*


~chứng minh nó đúng với p=k+1p=k+1 em
 
Last edited by a moderator:
Top Bottom