Ta có B=1+2+3+⋯+n=2n(n+1) A=1.2+2.3+⋯+n(n+1)⟹3A=1.2.(3−0)+2.3.(4−1)+⋯+n(n+1)[(n+2)−(n−1)]⟹3A=1.2.3−0.1.2+2.3.4−1.2.3+⋯+n(n+1)(n+2)−(n−1)n(n+1)⟹3A=n(n+1)(n+2)⟹A=3n(n+1)(n+2)
Quay lại bài toán thì 12+22+⋯+n2=1.(2−1)+2.(3−1)+⋯+n.[(n+1)−1]=(1.2+2.3+⋯+n(n+1))−(1+2+⋯+n)=A−B=62n(n+1)(n+2−63n(n+1)=6n(n+1)(2n+1)
Cách khác:
Đẳng thức đúng với p = 1.
Giả sử 12+22+...+k2=6k(k+1)(2k+1) →12+22+...+(k+1)2=6k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2=6(k+1)(2k2+k+6k+6)=6(k+1)(k+2)(2k+3) → Đẳng thức đúng với p=k thì cũng đúng với p=k+1
Vậy mệnh đề đúng với ∀p∈N∗