Xét các số $10 - 1 ; 10^2 - 1; 10^3 - 1 ; ... ; 10^{20} - 1$. Có $20$ số, theo nguyên lý Đi-dép-lê thì tồn tại 2 số có cùng số dư khi chia cho $19$ hay hiệu của chúng chia hết cho $19$
Giả sử hai số đó là $10^m - 1$ và $10^n - 1$ ($m > n$) thì $(10^m - 1) - (10^n - 1) = 10^n(10^{m-n}-1)$ chia hết cho $19$
Dễ thấy $10^n$ không chia hết cho $19$ nên $10^{m-n}-1$ chia hết cho $19$. Đặt $m-n = k$
Ta có $10^{k} - 1$ chia hết cho $19$
$10^{2k} - 1 = 10^{k}(10^{k} -1) + (10^{k} - 1)$ chia hết cho $19$
$10^{3k} - 1 = 10^{k}(10^{2k}-1) + (10^{k} - 1)$ chia hết cho $19$
...
$10^{19k} - 1 = 10^{k}(10^{18k}-1) + (10^{k}-1)$ chia hết cho $19$
Cộng hết lại ta có $(10^{k} + 10^{2k} + 10^{3k} + \ldots + 10^{19k}) - 19$ chia hết cho $19$
Suy ra $10^{k} + 10^{2k} + 10^{3k} + \ldots + 10^{19k}$ chia hết cho $19$
Mà số này có tổng các chữ số là $19$ nên ta có đpcm
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
