*Xét n=0,k=0 ta có (0+1)^0-1=0!(vô lý)
*Xét 1\leqn, k\leq4 (tự xét đi)
*Xét n <4
_TH1: n + 1 là hợp số
=> n + 1 có ước nguyên tố p < n\Rightarrown + 1)^k - n! chia hết cho p => (n + 1)^k - n! \geq p > 1 \Rightarrowkhông tồn tại k thỏa mãn (1)
_TH2: n + 1 là số nguyên tố (> 5), tức n chẵn.
Theo định lý Liouville ta có:
"Với số nguyên tố p > 5 không tồn tại số tự nhiên m ≥ 1 sao cho (p - 1)! + 1 = p^m" (2)
Đặt n + 1 = p, k = m từ (2)\Rightarrow không tồn tại n và k thỏa mãn
(cm (2) : ( p là nguyên tố lẻ):
Ta có 2 < (p - 1) / 2 < (p - 1)
\Rightarrow (p - 1)! = 1x2x ... x[(p - 1) / 2]x...x(p - 1) => (p - 1)! chia hết cho 2x[(p - 1) : 2]x(p - 1) = (p - 1)^2
Giả sử với p > 5 và \forallm thuộc R ta có (p - 1)! + 1 = p^m (3)
=> p^m - 1 = (p - 1)! chia hết cho (p - 1)^2
Chia 2 vế cho (p - 1) => p^(m - 1) + p^(m - 2) + ... + p + 1 chia hết cho (p - 1) (4)
Dễ thấy \forall k = 0, 1, 2, .... thì(p^k - 1) chia hết cho (p - 1)
hay p^k ≡ 1 (mod p - 1)
\Rightarrow p^(m - 1) + p^(m - 2) + ... + p + 1 ≡ m (mod p - 1) (2)
Từ (4), (2) \Rightarrowm chia hết cho (p - 1) \Rightarrow m \geq p - 1
\Rightarrow p^m \geq p^(p - 1) > (p - 1)^(p - 1) > (p - 1)!
\Rightarrow (p - 1)! + 1 \leq (p - 1)^(p - 1) < p^m \Rightarrow mâu thuẫn với (3)
*Kết luận .....
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
:|