[TOÁN ÔN TẬP CHƯƠNG 1 LỚP 9] Cần giúp đỡ gấp

[ktvlcm]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1/ Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $D\in BC$. Vẽ $DE\perp AB$, $DF\perp AC$.
a/ Chứng minh $BE^{2}+ED^2+DC^2=DB^2+DF^2+FC^2$.
b/Chứng minh $DB.DC=AE.BE+AF.CF$.

Bài 2/ Cho $\Delta ABC$ nhọn, các đường cao $BD$ và $CE$ cắt nhau tại $H$.
a/ Chứng minh $AE.AB=AD.AC; HD.HB=HE.HC$.
b/ Chứng minh $BH.BD+CH.CE=BC^2$.
c/ Gọi $I$, $K$ theo thứ tự là hình chiếu của $B$ và $C$ trên $DE$. Chứng minh $IE=KD$.
d/ Trên các đoạn thẳng $HB$ và $HC$ lấy các điểm $M$ và $N$ sao cho $\widehat {AMC}=\widehat {BNA}$. Chứng minh $\Delta AMN$ cân.

Bài 3/ Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn với 3 đường cao $AD$, $BE$, $CF$. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}= \dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}$$

Bài 4/ Cho $\Delta ABC$ vuông cân tại $A$, $M$ là trung điểm cạnh $BC$. Từ đỉnh $M$ vẽ góc $45^{\circ}$ sao cho các cạnh của góc này lần lượt cắt $AB$, $AC$ tại $E$, $F$. Chứng minh rằng:
$$S_{\Delta MEF}<\dfrac{1}{4}S_{\Delta ABC}$$

Bài 5/ Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $M$, $N$, $I$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$, $AC$ và hai đường cao $BE$, $CF$. Chứng minh rằng:
a/ $S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{A}$.
b/ $S_{\Delta HEF}=S_{\Delta ABC}(1-\cos^{2}\widehat{A}-\cos^{2}\widehat{B}-\cos^{2}\widehat{C})$.
c/ $\dfrac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}=\sin^{2}\widehat{B}.\sin^{2}\widehat{C}$.
d/Bốn điểm $M$, $N$, $I$, $K$ thẳng hàng.
e/ Cho $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của $\Delta ABC$. Chứng minh:

 

[hiensau99]

Bài 1/ Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$, $D\in BC$. Vẽ $DE\perp AB$, $DF\perp AC$.
a/ Chứng minh $BE^{2}+ED^2+DC^2=DB^2+DF^2+FC^2$.
b/Chứng minh $DB.DC=AE.BE+AF.CF$.

a. -CM: $BE^2+ED^2=BD^2$ và $DF^2+FC^2=DC^2$ (dựa vào pytago)
$ \to BE^{2}+ED^2+DC^2=BD^2+DF^2+FC^2$ (đpcm)

b, Ta có: $BC^2=AC^2+AB^2 \to (BD+DC)^2=(AE+EB)^2+(FA+FC)^2 \\ \to BD^2+DC^2+2BD.DC= AE^2+EB^2+2AE.EB+AF^2+FC^2+2FA.FC$ (1)
- CM tứ giác AEDF là hcn $\to AE=FD; \ AF=ED$
- Từ (1) $\to BD^2+DC^2+2BD.DC= FD^2+EB^2+2AE.EB+ED^2+FC^2+2FA.FC \\ \to BD^2+DC^2+2BD.DC= 2AE.EB+BD^2+DC^2+2FA.FC \\ \to 2BD.DC= 2AE.EB+2FA.FC \\ \to DB.DC=AE.BE+AF.CF $

 

[ktvlcm]

làm giúp với các bạn ơi..............................................

 

[hiensau99]

Bài 3/ Cho $\Delta ABC$ có 3 góc nhọn với 3 đường cao $AD$, $BE$, $CF$. Gọi $H$ là trực tâm của $\Delta ABC$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}= \dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}$$

- $\Delta HBC $ và $\Delta ABC$ có chung đáy BC $\to \dfrac{S_{HBC}}{S_{ABC}}= \dfrac{HD}{AD}$
- Tương tự có: $\dfrac{S_{HAC}}{S_{ABC}}=\dfrac{HE}{BE}; \dfrac{S_{HAB}}{S_{ABC}}=\dfrac{HF}{CF}$
$\to \dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}=1$

- Từ A kẻ đường thẳng // vs BC cắt HC và HB lần lượt ở Q và P
- Theo hệ quả định lí ta lét: $\dfrac{BD}{AP}=\dfrac{DH}{AH}=\dfrac{DC}{AQ} \to \dfrac{BD}{DC}= \dfrac{AP}{AQ}$
- Theo hệ quả định lí Ta lét, CM: $\dfrac{EC}{EA}=\dfrac{BC}{AP}; \dfrac{FA}{FB}=\dfrac{QA}{BC}$
$\to \dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}= \dfrac{AP}{AQ}.\dfrac{BC}{AP}.\dfrac{QA}{BC}=1$
Vậy: $\dfrac{HD}{AD}+\dfrac{HE}{BE}+\dfrac{HF}{CF}= \dfrac{DB}{DC}.\dfrac{EC}{EA}.\dfrac{FA}{FB}$

Bài 5/ Cho $\Delta ABC$ nhọn, đường cao $AH$. Gọi $M$, $N$, $I$, $K$ lần lượt là hình chiếu của $H$ trên $AB$, $AC$ và hai đường cao $BE$, $CF$. Chứng minh rằng:
a/ $S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}AB.AC.\sin \widehat{A}$.
b/ $S_{\Delta HEF}=S_{\Delta ABC}(1-\cos^{2}\widehat{A}-\cos^{2}\widehat{B}-\cos^{2}\widehat{C})$.
c/ $\dfrac{S_{\Delta AMN}}{S_{\Delta ABC}}=\sin^{2}\widehat{B}.\sin^{2}\widehat{C}$.
d/Bốn điểm $M$, $N$, $I$, $K$ thẳng hàng.
e/ Cho $a$, $b$, $c$ lần lượt là độ dài các cạnh $BC$, $CA$, $AB$ của $\Delta ABC$. Chứng minh:[/I]

[/SIZE]
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\mathbf{{\color{DarkBlue}&space;\sin&space;\dfrac{\widehat{A}}{2}\leq&space;\dfrac{a}{2\sqrt{bc}}}}[/QUOTE]a/ $S_{\Delta ABC}=\dfrac{BE.AC}{2}=\dfrac{AB.sin\widehat{BAC}.AC}{2}$

b/ - CM: $\Delta AEB \sim \Delta AFC \to \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{AB}{AC}$
- Do $ \dfrac{AE}{AF}= \dfrac{AB}{AC}$ và $\widehat{BAC}$ chung $\to \Delta FAE \sim \Delta CAB$
$\to \dfrac{S_{\Delta FAE}}{S_{ \Delta CAB}}= \dfrac{AE^2}{AB^2}= \cos^{2}\widehat{A} \to S_{\Delta FAE}= S_{\Delta CAB}. \cos^{2}\widehat{A}$
- CM tương tự: $ S_{\Delta EHC}= S_{\Delta ABC}. \cos^{2}\widehat{C}; S_{\Delta BFH}= S_{ \Delta ABC}. \cos^{2}\widehat{B}$

$\to S_{\Delta EFH} = S_{ \Delta ABC} -S_{ \Delta EHC}- S_{\Delta FAE}- S_{\Delta BFH}= S_{\Delta ABC}(1-\cos^{2}\widehat{A}-\cos^{2}\widehat{B}-\cos^{2}\widehat{C})$

c/ Ta có: $AH^2=AN.AC=AM.AB \to \dfrac{AN}{AB}= \dfrac{AM}{AC}$
- Do $ \dfrac{AN}{AB}= \dfrac{AM}{AC}$ và $\widehat{BAC}$ chung $\to \Delta AMN \sim \Delta ACB \to \dfrac{S_{\Delta AMN}}{S_{ \Delta ACB}}=\dfrac{AN^2}{AB^2}= \dfrac{AN^2. AH^2}{AB^2. AH^2}=\cos^{2}\widehat{NAH}. \sin^{2}\widehat{ABC}= \sin^{2}\widehat{ACB}. \sin^{2}\widehat{ABC}$

d, - CM: HN//BE $\to \dfrac{NC}{EC}=\dfrac{HC}{BC}$
- CM: $HK//BF \to \dfrac{HC}{BC}=\dfrac{CK}{CF} \to \dfrac{CK}{CF}= \dfrac{NC}{EC} \to KN//FE$ (theo Ta lét đảo)
- CM tương tự ta có: $MI//EF$
- Gọi giao điểm 3 đường cao là P.
- CM: $AF//KH \to \dfrac{FP}{PK}=\dfrac{AP}{PH}$
- CM: $AE//IH \to \dfrac{EP}{IP}=\dfrac{AP}{PH} \to \dfrac{FP}{PK}=\dfrac{EP}{IP} \to FE//IK$ (theo Ta lét đảo)
- Ta có: $EF//IK; EF//MI; EF//KN \to $ 4 điểm $M$, $N$, $I$, $K$ thẳng hàng[/B][/COLOR]