Gọi số đó là [tex]a[/tex], khi phân tích ra thừa số nguyên tố thì [tex]a=p_{1}^{k_{1}}p_{2}^{k_{2}}...p_{n}^{k_{n}}[/tex] và số ước nguyên dương của [tex]a[/tex] là [tex](k_{1}+1)(k_{2}+1)...(k_{n}+1)[/tex] với [tex]k_{1},k_{2},...,k_{n} \epsilon N*[/tex] và [tex]p_{1},p_{2},...,p_{n}[/tex] là số nguyên tố
Nếu [tex]n \geq 5[/tex] thì số ước dương của [tex]a[/tex] không nhỏ hơn [tex](k_{1} + 1)(k_{2}+1)...(k_{5}+1) \geq (1+1)(1+1)(1+1)(1+1)(1+1)=32>21[/tex] mà [tex]a[/tex] có [tex]21[/tex] ước dương [tex] \Rightarrow[/tex] vô lý
Nếu [tex]n=4[/tex] thì [tex]a[/tex] có [tex](k_{1}+1)(k_{2}+1)(k_{3}+1)(k_{4}+1)=21[/tex] ước dương
[tex](k_{1}+1)(k_{2}+1)(k_{3}+1)(k_{4}+1)=21=3.7 \Rightarrow[/tex] không thoả mãn
Tương tự [tex]n=3[/tex] dễ dàng không thoả mãn
Nếu [tex]n=2[/tex] thì [tex]a[/tex] có [tex](k_{1}+1)(k_{2}+1)=21[/tex] ước dương
[tex](k_{1}+1)(k_{2}+1)=21=3.7=7.3[/tex]
Với [tex]k_{1}+1=3[/tex] và [tex]k_{2}+1=7[/tex] thì [tex]k_{1}=2;k_{2}=6[/tex]
[tex]a[/tex] nhỏ nhất [tex]\Rightarrow p_{1},p_{2}[/tex] nhỏ nhất thì [tex]p_{1},p_{2}[/tex] nhỏ nhất [tex]\Rightarrow p_{1}=2;p_{2}=3[/tex] hoặc ngược lại [tex]\Rightarrow[/tex] dễ dàng tìm được số đó là [tex]576[/tex]
Nếu [tex]n=1[/tex] thì [tex]a[/tex] có [tex]k_{1}+1=21[/tex] ước dương [tex]\Rightarrow k_{1}=20 \Rightarrow a=p_{1}^{k_{1}} \geq 2^{20}>576[/tex] hiển nhiên loại vì không phải nhỏ nhất
Nếu [tex]n=0[/tex] thì [tex]a=0[/tex] rõ ràng có vô số ước [tex]\Rightarrow a[/tex] có [tex]21[/tex] ước dương trong đó =))
Vậy [tex]0[/tex] là số tự nhiên nhỏ nhất có [tex]21[/tex] ước dương =)) và [tex]576[/tex] là số tự nhiên nhỏ nhì có [tex]21[/tex] ước dương =))
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn