Toán nâng cao

[sansan774]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1. CMR: Nếu x + y + z= 0 thì 2(x^5 + y^5 + z^5) = 5xyz(x^2 + y^2 + z^2)
2. Cho x + y + z = 1; x^2 + y^2 +z^2 = 1; x^3 + y^3 + z^3= 1. CMR: x + y^2 + Z^3 = 1

 

[Vi Nguyen]

1/Vì x+y+z=0
=>x+y=-z =>(x+y)^5=-z^5
hay x^5+y^5+5(x^4y+xy^4+2x³y²+2x²y³+)=-z^5
<=>x^5+y^5+z^5+5xy(x³+y³+2x²y+2x²y)=0
<=>x5+y^5+z^5+5xy(x+y)(x²-xy+y²+2xy)=0
<=>x^5+y^5+z^5-5xyz(x²+xy+y²)=0
<=>x^5+y^5+z^5=5xyz(x²+xy+y²)
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(2x²+2xy+2y²)
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz[x²+y²+(x+y)²]
<=>2(x^5+y^5+z^5)=5xyz(x³+y²+z²)

 

[Nữ Thần Mặt Trăng]

2. Cho x + y + z = 1; x^2 + y^2 +z^2 = 1; x^3 + y^3 + z^3= 1. CMR: x + y^2 + Z^3 = 1

$(x+y+z)^2=1\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2(xy+yz+zx)=1\Rightarrow xy+yz+zx=0
\\x^3+y^3+z^3=1\Leftrightarrow (x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)+3xyz=1\Rightarrow xyz=0
\\(xy+yz+zx)^2=0\Leftrightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2+2xyz(x+y+z)=1\Rightarrow x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2=0
\\\Rightarrow xy=0;yz=0;zx=0$
$\Rightarrow$ Trong 3 số $x,y,z$ có ít nhất $2$ số bằng $0$. Mà $x+y+z=1$ nên số còn lại phải là $1$
$\Rightarrow x+y^2+z^3=1$ (đpcm)