Toán nâng cao

[thuylinha6]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Câu 1: Với p,q là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng :
p^4-q^4 chia hết cho 240.
Câu 2: Cho a,b,c là các số nguyên dương tuỳ ý. Tổng sau có thể là số nguyên dương không?
\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}
Câu 3: Tìm phân số nhỏ nhất khác 0 mà khi chia phân số này cho các phân số \frac{42}{275} và \frac{63}{110} thì ta được kết quả là 1 số tự nhiên
Câu 4:
Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho viết nó liên tiép sau số 1999 thì được một số chia hết cho 37

 

[toiyeu9a3]

Bài 2: Chứng minh tổng nhỏ hơn 2 lớn hơn 1
Bài 4 : Có 199910 : 37 = 5402 dư 36
199999:37 = 5405 dư 14
Vậy thương của phép tính chỉ có thể là 5403;5404;5405 và tìm ra các số đó là 11; 48; 85

 

[pinkylun]

Câu 2: Cho a,b,c là các số nguyên dương tuỳ ý. Tổng sau có thể là số nguyên dương không?
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}$

câu này tớ chỉ biết chứng minh lớn hơn 1 thôi còn nhỏ hơn 2 thì.............................

ta có $\dfrac{a}{a+b}>\dfrac{a}{a+b+c}$
$\dfrac{b}{b+c}>\dfrac{b}{a+b+c}$
$\dfrac{c}{a+c}>\dfrac{c}{a+b+c}$
=>$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>\dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c}$
=>$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}>1$

 

[su10112000a]

Câu 2: Cho a,b,c là các số nguyên dương tuỳ ý. Tổng sau có thể là số nguyên dương không?
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$

ta có:
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} > \dfrac{a}{a+b+c}+\dfrac{b}{a+b+c}+\dfrac{c}{a+b+c} = 1$ $(1)$
lại có:
$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} < \dfrac{a+c}{a+b+c} + \dfrac{b+a}{a+b+c} + \dfrac{c+b}{a+b+c} = 2$ $(2)$
từ $(1)$ và $(2)$, ta c/m đc $\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a}$ không có nghiệm nguyên

 

[vanmanh2001]

Tìm số tự nhiên có hai chữ số sao cho viết nó liên tiép sau số [TEX]1999[/TEX] thì được một số chia hết cho 37
Gọi số cần tìm là ab
Ta có 1999ab chia hết cho 37
[TEX]\Rightarrow [/TEX]199900+ab chia hết cho 37
Vì 199900 chia 37 dư 26 [TEX]\Rightarrow[/TEX] ab chia 37 dư 11
mà ab là số có 2 chữ số [TEX]\Rightarrow[/TEX] ab lần lượt là [TEX]11;48;85[/TEX]
Nhớ cảm ơn và nhấn Đúngnhé

 

[su10112000a]

giải nốt câu cuối:
ta có:
$p^4 - q^4 = p^4 - q^4 -1 + 1 = (p^4 - 1) - (q^4 - 1)$
lại có $240 = 8.2.3.5$
ta cần chứng minh $(p^4-1)\ \vdots \ 240$ và $(q^4-1)\ \vdots \ 240$
C/m: $(p^4-1)\ \vdots \ 240$:
$(p^4-1) = (p-1)(p+1)(p^2+1)$
vì $p$ là số nguyến tố lớn hơn $5$ nên $p$ là số lẻ
$\Longrightarrow (p-1)(p+1)$ là tích của $2$ số lẻ liên tiếp nên chia hết cho $8$ $(1)$
Do $p > 5$ nên:
$p = 3k + 1 \rightarrow p - 1 = 3k \rightarrow p - 1\ \vdots \ 3$
hoặc $p = 3k + 2 \rightarrow p + 1 = 3(k + 1) \rightarrow p + 1\ \vdots \ 3$ $(2)$
mặt khác vì $p$ là số lẻ nên $p^2$ là số lẻ $\rightarrow p^2 + 1$ là số chẵn nên $p^2+1\ \vdots \ 2$ $(3)$
giờ cần chứng minh $p^4-1 \ \vdots \ 5$:
$p$ có thể có dạng:
$p = 5k + 1 \rightarrow p - 1 \ \vdots \ 5$
$p = 5k + 2 \rightarrow p^2 + 1 = 25k^2 + 20k + 5 \rightarrow p^2 + 1 \ \vdots \ 5$
$p = 5k + 3 \rightarrow p^2 + 1 = 25k^2 + 30k + 10 \rightarrow p^2+1 \ \vdots \ 5$
$p = 5k + 4 \rightarrow p + 1 = 5k + 5 \rightarrow p + 1 \ \vdots \ 5$
$p = 5k$ mà $p$ là số nguyến tố nên $k=1 \rightarrow p = 5$ (ko thỏa mãn ĐK)
$\Longrightarrow p^4 - 1 \ \vdots \ 5$ $(4)$
từ $(1), (2), (3), (4)$, suy ra $p^4-1$ chia hết cho $2.3.5.8$ hay $p^4-1 \ \vdots \ 240$
chứng minh tương tự, ta có: $q^4 - 1 \ \vdots \ 240$
Kết luận.......................
Xong:|