Toán nâng cao về số học 9

[avatarwefa]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1/Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thõa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy
2/ Cho $a = \dfrac{1-\sqrt{a}}{2}$. Tính giá trị biểu thức $\sqrt{16a^8 - 51a}$
3/ Cho a,b là các số thực dương chứng minh $(a+b)^2 + \dfrac{a+b}{2} \ge 2a\sqrt{b} + 2b\sqrt{a}$
4/Cho a , b là 2 số nguyên dương gọi S = a+b và M = BCNN(a;b)
a. Chứng minh rằng UCLN(a;b)= UCLN(S;M)
b. TÌm giá trị n của B đạt giá trị nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó
5/ Chứng minh không có cặp số x,y thõa mãn hệ thức 2008.x^2 + 2009.y^2 = 2011

 

[eye_smile]

3.Có:
${(a+b)^2}+\dfrac{a+b}{2}$ \geq $2\sqrt{\dfrac{{(a+b)^3}}{2}}$ \geq $2\sqrt{2ab(a+b)}=2\sqrt{ab}.\sqrt{2(a+b)}$ \geq $2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$
(đpcm)

 

[vipboycodon]

3. bạn eye_smile sai rồi nhưng lỡ ấn nhầm lút đúng. . (sửa lại đi nhá)
BĐT <=> $(a+b)[(a+b)+\dfrac{1}{2}] \ge 2\sqrt{ab}(\sqrt{a}+\sqrt{b})$
Theo bdt cauchy cho các số không âm ta có :
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$ (1)
$a+\dfrac{1}{4} \ge \sqrt{a}$ (2)
$b+\dfrac{1}{4} \ge \sqrt{b}$ (3)
Từ (1) , (2) , (3) => đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a = b = \dfrac{1}{4}$.

 

[n.hoa_1999]

1/Tìm cặp số nguyên dương (x,y) thõa mãn 6x + 5y + 18 = 2xy

6x + 5y + 18 = 2xy
=> 6x+5y+18-2xy=0
=> y(5-2x)+6x+18=0

=> $y=\frac{-6x-18}{5-2x}=3-\frac{33}{-2x+5}=3+\frac{33}{2x-5}$

y là số nguyên nên $3+\frac{33}{2x-5}$ là số nguyên
=> 2x-5 thuộc U(33)={±1;±3;±11;±33}

Vì là x,y nguyên dung nên xét từng trường hợp, nhớ lọai nghiệm âm là xong !!!

 

[eye_smile]

1.Có:
$6x+5y+18=2xy$
\Leftrightarrow $y=\dfrac{6x+18}{2x-5}=3+\dfrac{33}{2x-5}$
\Rightarrow $2x-5$ là ước của 33
Từ đây tìm ra $x;y$ tm

 

[n.hoa_1999]

3

Tớ bổ sung thêm nhé bạn vipbo..

Vì a,b không âm nên dấu "=" xảy ra khi:

$a=b=\frac{1}{4}$
và a=b=0

 

[angleofdarkness]

2/

Từ $a=\dfrac{1-\sqrt{a}}{2}$ ta tính đc $2a=1-\sqrt{a}.$

\Leftrightarrow $4a^2=(1-\sqrt{a})^2=1-2\sqrt{a}+a=1-2(1-2a)+a=5a-1.$

(Chú ý đk để bình phương hai vế là 0 \leq a \leq 1.)

\Rightarrow $2a^2=\dfrac{5a-1}{2}.$

Tiếp tục bình 2 vế đc $4a^4=(\dfrac{5a-1}{2})^2=\dfrac{25a^2-10a+1}{4}=\dfrac{25(\dfrac{5a-1}{4})-10a+1}{4}=\dfrac{85a-21}{16}.$

(đk a \geq 0.2)

Bình tiếp \Rightarrow $16a^8=(\dfrac{85a-21}{16})^2=\dfrac{7225a^2-3570a+441}{256}=\dfrac{7225(\dfrac{5a-1}{4})-3570a+441}{256}=\dfrac{21845a-5461}{1024}.$

Từ đó thay vào biểu thức cần tính.