toán nâng cao khó

[lolem1111]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

BÀI 1: Cho (O;R) đường kính AB. Dây cung CD vuông góc với AB tại I ( AI<IH) Hai tia BC và DA cắt nhau tại E. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ E tới đường thẳng AB.

a) Chứng minh AHEC nội tiếp
b) gọi F là giao điểm của EH và CA. Chứng minh HC=HF
c) Chứng minh HC là tiếp tuyến của (O)
d) Biết góc ABC =30 độ . Chứng minh BC.BE=6R^2

BÀI 2: Cho nửa đtròn tâm O đường kính BC, vẽ dây BA. Gọi I là điểm chính gữa cung BA, K là giao điểm của OI với BA

a) Chứng minh : OI//CA
b) Từ A vẽ đường thẳng song song với CI cắt BI tại H. Chứng minh IHAK nội tiếp
c) Gọi P là giao điểm của HK với BC. Chứng minh tam giác BKP đồng dạng tam giác BCA

 

[huongmot]

Bài 1:

a) Tứ giác AHEC nội tiếp vì có 2 góc đổi tổng = $180^o$
b) $\triangle DAC$ cân (do đk AB $\bot$ CD nên AB là trung trực CD)
nên $\triangle EAF$ cân (2 tg đồng dạng do È//CD tạo thành 2 cặp góc bằng nhau)
nên $\widehat{AEF}=\widehat{EFA}$
mà $\widehat{AEF}=\widehat{HCA}$(góc nội tiếp cùng chắn AH của đtròn nt tứ giác AHEC)
$\rightarrow \widehat{EFA}=\widehat{HCA}$
Do đó $\triangle FHC$ cân
nên HC =HF
c) Ta có:
$\widehat{CBA}=\widehat{ADC}$(2 góc nt cùng chắn 1 cung)
$\widehat{ADC}=\widehat{AEH}$(SLT)
$\rightarrow \widehat{CBA}=\widehat{AEH}$
mà $\widehat{CBA}=\widehat{BCO}$(tg COB cân)
$\widehat{AEH}=\widehat{HCA}$(2 góc nt cùng chắn 1 cung)
nên $\widehat{BCO}=\widehat{HCA}$
mà $\widehat{ECH}+\widehat{HAC}=90^o$(cm dễ dàng)
nên $\widehat{ECH}+\widehat{BCO}=90^o$
$\rightarrow \widehat{HCO}=90^o$(kề bù)
nên $HC\bot OC$
mà $C\in (O)$
Vậy HC là tiếp tuyến của (O)
d) CM $\triangle BAC \sim \triangle BEH$
nên $BC.BE = AB. BH(1)$
* Vì $\widehat{ABC}=30^o\rightarrow \widehat{ADC}=30^o \rightarrow \widehat{HEA}=30^o$
mà $\widehat{HEC}=60^o (90^o-30^o)$
nên $\widehat{AEC}=30^o$
$\rightarrow \triangle EAB$ cân
nên $EA = EB$

Xét $\triangle EHA$ có CD//EH
nên $\dfrac{EA}{AD}=\dfrac{AH}{AI}$
mà $AD= R$ (do tg OAD đều (góc OAD =$60^o$))
nên $\dfrac{EA}{AD}=\dfrac{AH}{AI}=2$
Vì ADO đều
DI là đường cao ~> DI là trung tuyến
nên $AI =IO =\dfrac{R}{2}$
$\rightarrow AH = R$
$\rightarrow BH = AH+AB= R+ 2R= 3R$
Thay vào (1)$\rightarrow BC.BE = 2R. 3R= 6R^2$(đpcm)
Bài 2:

a) CM: $\widehat{BKO}=90^o$(tc đk vào dây cung)
mà $\widehat{BAC}= 90^o$(góc nt chắn nửa đường tròn)
nên OI//AC
b) HA// CI
mà$\widehat{BIC}=90^o$
nên $\widehat{IHA}=90^o$
nên tứ giác IHAK nội tiếp (tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180)
c)Vì tứ giác IHAK nt
nên $\widehat{HIA}=\widehat{HKA}$
mà $\widehat{HKA}=\widehat{BKP}$(đđ)
nên $\widehat{BKP}=\widehat{HIA}$
Vì tứ giác BIAC là tứ giác nt
có: $\widehat{HIA}$ là góc ngoài đỉnh I
nên $\widehat{HIA}=\widehat{ACB}$
Nên $\widehat{ACB}=\widehat{BKP}$
Vậy $\triangle BKP \sim \triangle BCA$