[Toán nâng cao HSG] 8

[hanh7a2002123]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Chăm chỉ hỏi bài, tạo điều kiện việc làm cho mọi người ná =))
Bài 1: a, Cho a,b,c khác 0: $\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}$
Tính: $P= \frac{20ab+4bc+2013ca}{a^2+b^2+c^2}$
b, Giả sửa A=1.3.5...2013. Chứng minh rằng trong 3 số nguyên liên tiếp $2A-1; 2A; 2A+1$ không có số nào là số chính phương.

Bài 2: Hình thang ABCD ( AB//CD) có 2 đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và // với đáy AB cắt các cạnh bên AD, BC theo thứ tự ở M và N.
a, CMR: $\frac{1}{AB}+\frac{1}{CD}=\frac{2}{MN}$
c, Biết $S_{AOB}=2008^2$ ( đv diện tích); $S_{COD}=2009^2$ (đơn vị diện tích). Tính $S_{ABCD}$

Bài 3: CMR với a,b,c > 0 ta có bất đẳng thức:
$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}$ \leq $\frac{(a+b+c)^2}{6abc}$

 

[ngocsangnam12]

Bài 1: a, Cho a,b,c khác 0: $\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}$

Tính: $P=$ $\frac{20ab+4bc+2013ca}{a^2+b^2+c^2}$

Theo đề ra ta có:

$\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{a+b}$

$=> ab.(b+c)=bc.(a+b)$

$=> ab^2+abc=abc+cb^2$

$=> ab^2=cb^2 => a=c~~~~~~~~(1)$

$\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}$

$=>bc.(a+c)=ac.(b+c)$

$=> abc+bc^2=abc+ac^2$

$=> bc^2=ac^2 => b=c ~~~~~~~~(2)$

Từ $(1)$ và $(2)$. Ta có: $a=b=c$

Theo giả thiết:

$P=$ $\frac{20ab+4bc+2013ca}{a^2+b^2+c^2}$

=> $P=$ $\frac{20a^2+4a^2+2013a^2}{a^2+a^2+a^2}$

$P=$ $ \frac{a^2.(20+4+2013)}{3.a^2}$

$P=$ $\frac{2037}{3}=679$

Vậy $P=679$

b, Giả sử $ A=1.3.5...2013$. Chứng minh rằng trong $3$ số nguyên liên tiếp $2A−1;2A;2A+1$ không có số nào là số chính phương.

Xét: $2A-1$.
Do $A \vdots 3 => 2A \vdots 3 => 2A-1 :3 ($ dư $2)$. Mà số chính phương chia cho $3$ thì không thể dư $2$.
Xét: $2A$
$A =1.3.5....2013 => 2A=2.3.5.7...2013 => 2A \vdots 2$ nhưng $2A$ không chia hết cho $4$... Mà cố chính phương chẵn thì chia hết cho $4.$
Xét: $2A+1$
Do $2A + 1$ là số lẻ $=>2A+1$ không chia hết cho $8 => 2A:8$ không dư $1$. Mà số chính phương chia cho $8$ chỉ có dư $1.$
Vậy các số trên không phải là số chính phương.

Gộp bài. Mà $2A+1$ chia 4 dư 1 là đủ rồi em :3

 

[phamhuy20011801]

Câu bất sử dụng bđt:
$\dfrac{1}{a+b} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$
Dễ dàng chứng minh được $\dfrac{1}{a+b}+ \dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\le \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$ .
Vứt $6abc$ sang vế trái.
Nó ra $3(ab+bc+ca) \le (a+b+c)^2$, bất đẳng thức này luôn đúng vì nó tương đương $(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2 \ge 0$.

 

[iceghost]

a) Xét $\triangle{ABD}$ có :
$OM // AB$ (gt)
$\implies \dfrac{OM}{AB} = \dfrac{OD}{BD} \; (1)$ ( Ta lét )
Tương tự với $\triangle{BDC}$ và $\triangle{ABC}$
$\implies \left\{ \begin{array} {} \dfrac{ON}{DC} = \dfrac{BO}{BD} \; (2) \\
\dfrac{ON}{AB} = \dfrac{CN}{BC} \; (3) \end{array} \right.$ ( Ta lét )

Từ $(1),(3)$ kết hợp $\dfrac{CN}{BC} = \dfrac{OD}{BD}$ ( Ta lét trong $\triangle{BDC}, ON // BC )$
$\implies OM = ON = \dfrac12 MN$

$(1) + (2) \\
\iff \dfrac{OM}{AB} + \dfrac{ON}{DC} = \dfrac{BO}{BD} + \dfrac{OD}{BD} \\
\iff \dfrac{OM}{AB} + \dfrac{OM}{DC} = \dfrac{BO + OD}{BD} = \dfrac{BD}{BD} = 1 \\
\iff \dfrac1{AB} + \dfrac1{DC} = 1:OM = 1:\dfrac12MN = \dfrac2{MN}$


b) Kẻ đường cao $HK$ của hình thang $ABCD$ đi qua $O$

Dễ dàng chứng minh được $\triangle{OHB} ~ \triangle{OKD}$ (g.g)
$\implies \dfrac{OH}{OK} = \dfrac{OB}{OD} \; (4)$
Dễ dàng chứng minh được $\triangle{OAB} ~ \triangle{OCD}$ (g.g)
$\implies \dfrac{AB}{CD} = \dfrac{OB}{OD} \; (5)$

Từ $(4),(5) \implies \dfrac{OH}{OK} = \dfrac{AB}{CD}$
$\iff OH.CD=OK.AB$

Ta có : $S_{AOB} = \dfrac12OH.AB = 2008^2 \implies OH.AB=2.2008^2 \\
S_{COD} = \dfrac12OK.CD = 2009^2 \implies OK.CD=2.2009^2$

Nhân hai vế lại với nhau
$\implies OH.AB.OK.CD=2.2008^2.2.2009^2 = (2.2008.2009)^2 \\
\implies OH.CD.OK.AB = (2.2008.2009)^2$
Mà $OH.CD=OK.AB$
$\implies OH.CD=OK.AB = \sqrt{(2.2008.2009)^2} = 2.2008.2009$

Ta có : $S_{ABCD} = \dfrac12.HK.(AB+CD) \\
= \dfrac12(OH+OK)(AB+CD) \\
= \dfrac12(OH.AB+OH.CD+OK.AB+OK.CD) \\
= \dfrac12(2.2008^2+2.2008.2009+2.2008.2009+2.2009^2) \\
= 2008^2+2.2008.2009+2009^2
= (2008+2009)^2 \\
= 4017^2$