Toán nâng cao hình học 8

[viethoang345]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Hinh thang ABCD ( AB song song CD ) có hai đường chéo cắt nhau tại O. Đường thẳng qua O và song song với đáy AB cắt các canh bên Ad, BC theo thứ tự M, N.
a, CMR: OM = ON
b, CMR: $ \frac{1}{AB} + \frac{1}{CD} = \frac{2}{MN} $
c, Biết $ S _AOB = 2010^2 $ ; $ S_COD = 2011^2 $ . Tính S_ ABCD $

 

[thangvegeta1604]

a. Vì AB//CD mà AB//MN nên AB//MN//CD
Tam giác ABD có OM//AB nên: $\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{DM}{DA}$ (1)
Tam giác CBA có ON//AB nên: $\dfrac{ON}{AB}=\dfrac{CO}{CA}$ (2)
Tam giác ADC có OM//CD nên: $\dfrac{DM}{DA}=\dfrac{CO}{CA}$ (3)
Từ (1), (2), (3)\Rightarrow $\dfrac{OM}{AB}=\dfrac{ON}{AB}$\Rightarrow OM=ON.

 

[windysnow]

a) Xét tam giác OBA và tam giác ODC có AB song song CD
Theo hệ quả của định lý Ta-lét, ta có:
[TEX]\frac{AO}{OC}[/TEX] = [TEX]\frac{OB}{OD}[/TEX] (1)
Xét tam giác BCD có ON song song CD
Theo định lý Ta-lét, ta có:
[TEX]\frac{OB}{OD}[/TEX] = [TEX]\frac{ON}{CD}[/TEX] (2)
Xét tam giác ABC có OM song song CD
Theo định lý Ta-lét, ta có:
[TEX]\frac{AO}{OC}[/TEX] = [TEX]\frac{OM}{CD}[/TEX] (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: [TEX]\frac{OM}{CD}[/TEX] = [TEX]\frac{ON}{CD}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] OM=ON

 

[windysnow]

b)Ta có: [TEX]\frac{1}{AB}[/TEX] + [TEX]\frac{1}{CD}[/TEX] = [TEX]\frac{2}{MN}[/TEX]
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]\frac{MN}{AB}[/TEX] + [TEX]\frac{MN}{CD}[/TEX] = 2
[TEX]\Leftrightarrow[/TEX] [TEX]\frac{OM}{AB}[/TEX] + [TEX]\frac{ON}{AB}[/TEX] + [TEX]\frac{OM}{CD}[/TEX] + [TEX]\frac{ON}{CD}[/TEX] = 2 (*)

Xét tam giác DAB có OM song song AB
Theo hệ quả của định lý Ta-lét, ta có:
[TEX]\frac{OM}{AB}[/TEX] = [TEX]\frac{MD}{AD}[/TEX] = [TEX]\frac{OD}{BD}[/TEX](1)
Xét tam giác BCD có ON song song CD
Theo định lý Ta-lét, ta có:
[TEX]\frac{OD}{BD}[/TEX] = [TEX]\frac{NC}{BC}[/TEX] (2)
Xét tam giác CBA có ON song song AB, theo hệ quả của định lý Ta-lét, ta có:
[TEX]\frac{NC}{BC}[/TEX] = [TEX]\frac{ON}{AB}[/TEX] = [TEX]\frac{OC}{AC}[/TEX] (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra [TEX]\frac{MD}{AD}[/TEX] = [TEX]\frac{OD}{BD}[/TEX] = [TEX]\frac{OC}{AC}[/TEX] = [TEX]\frac{NC}{BC}[/TEX] = [TEX]\frac{ON}{AB}[/TEX] = [TEX]\frac{OM}{AB}[/TEX] (4)
Khi đó, ta có (*) là:
[TEX]\frac{MD}{AD}[/TEX] + [TEX]\frac{NC}{BC}[/TEX] + [TEX]\frac{AM}{AD}[/TEX] + [TEX]\frac{BN}{BC}[/TEX]
= [TEX]\frac{MD}{AD}[/TEX] + [TEX]\frac{AM}{AD}[/TEX] + [TEX]\frac{NC}{BC}[/TEX]
+ [TEX]\frac{BN}{BC}[/TEX]
=1+1=2 (đpcm)