Toán nâng cao đại số 8:

[ailatrieuphu]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1)a)Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{bc}{a^2b+a^2c}+\frac{ca}{ab^2+b^2c}+\frac{ab }{ac^2+bc^2} \geq \frac{1}{2}(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})[/TEX]
b)Cho x; y; z là các số dương thỏa mãn: [TEX]z \geq 60; x+y+z=100[/TEX]. Tìm GTLN của [TEX]A=xyz[/TEX].

 

[transformers123]

Bài 1:

Áp dụng bất đẳng thức Schwarz, ta có:

$A=\dfrac{bc}{a^2b+a^2c}+\dfrac{ca}{ab^2+b^2c}+ \dfrac{ab}{c^2a+c^2b}$

$\iff A=\dfrac{b^2c^2}{bc(a^2b+a^2c)}+\dfrac{c^2a^2}{ca(ab^2+b^2c)}+
\dfrac{a^2b^2}{ab(c^2a+c^2b)}$

$\iff A \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{bc(a^2b+a^2c)+ca(ab^2+b^2c)+ab(c^2a+c^2b)}$

$\iff A \ge \dfrac{(ab+bc+ca)^2}{2abc(ab+bc+ca)}$

$\iff A \ge \dfrac{ab+bc+ca}{2abc}$

$\iff A \ge \dfrac{1}{2}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c})$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

$\Longrightarrow Q.E.D$

 

[thanghasonlam]

anh transformers123 ơi anh có thể cho em biết công thức tổng quát của bất đẳng thức Schwarz không ạ em mới học lớp 8 nên không biết

 

[eye_smile]

b,

$3x+3y+z \ge 3\sqrt[3]{9xyz}$

\Leftrightarrow $100+2(x+y) \ge 3\sqrt[3]{9xyz}$

\Leftrightarrow $100+2(100-z) \ge 3\sqrt[3]{9xyz}$

\Leftrightarrow $300-2z \ge 3\sqrt[3]{9xyz}$

Do $z \ge 60$ nên $-2z \le -120$

\Rightarrow $3\sqrt[3]{9xyz} \le 180$

\Leftrightarrow $xyz \le 24000$