Toán nâng cao đại số 8

[viethoang345]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
CMR nếu a, b, c là độ dài 3 cạnh tam giác thì:
$ A = 4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2 $ luôn dương
Bài 2: Cho x, y thoả mãn $ xy \ge 1 $ . CMR:
$ \frac{1}{1 + x^2} + \frac{1}{1 + y^2} \ge \frac{2}{1 + xy} $
Bài 3: Tìm các số nguyên x, y thoả mãn:
$ 2x^2 + \frac{1}{x^2} + \frac{y^2}{4} = 4 $ sao cho tích xy đạt giá trị lớn nhất

 

[manhnguyen0164]

Bài 2:

$ \dfrac{1}{1 + x^2} + \dfrac{1}{1 + y^2} \ge \dfrac{2}{1 + xy} \iff \dfrac{1}{1+xy}-\dfrac{1}{1+x^2}+\dfrac{1}{1+xy}-\dfrac{1}{1+y^2} \le 0 $

$\iff \dfrac{x(x-y)}{(1+x^2)(1+xy)}+\dfrac{y(y-x)}{(1+y^2)(1+xy)} \le 0$

$\iff x(x-y)(1+y^2)+y(y-x)(1+x^2) \le 0 \iff (x-y)^2(1-xy) \le 0$

Đẳng thức xảy ra khi $x=y$ hoặc $xy=1$

 

[eye_smile]

1,$4a^2b^2-(a^2+b^2-c^2)^2=(2ab-a^2-b^2+c^2)(2ab+a^2+b^2-c^2)$

$=[c^2-(a-b)^2].[(a+b)^2-c^2]=(c-a+b)(c+a-b)(a+b-c)(a+b+c)>0$

\Rightarrow đpcm

 

[manhnguyen0164]

Bài 1: $A=4a^2b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)^2$

$=-(c-b-a)(c-b+a)(c+b-a)(c+b+a)=(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(-a+b+c)$

Kết hợp với BĐT tam giác. Xong

 

[eye_smile]

3,$4=2x^2+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{y^2}{4}=(x^2+ \dfrac{1}{x^2})+( \dfrac{y^2}{4}+x^2) \ge 2+|xy|$

\Leftrightarrow $|xy| \le 2$

\Rightarrow $xy \le 2$

Dấu = xảy ra khi $x=1;y=2$ hoặc $x=-1;y=-2$