Toán nâng cao đại số 8

[viethoang345]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1:
Cho tam giác có độ dài các cạnh là a, b, c và có chu vi là 2P. CMR:
$ \frac{ab}{P - c} + \frac{bc}{P - a} + \frac{ca}{P - b} \ge 4P $
Bài 2:
Cho $ 0 \le a, b, c \le 2 $ thỏa mãn a + b + c = 3. CMR: $ a^2 + b^2 + c^2 \le 5 $
Bài 3:
Cho $ 0 \le a, b, c \le 1 $ . CMR: $ 2a^3 + 2b^3 + 2c^3 \le 3 + a^2b + b^2c + c^2a $

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 1.
Đặt $a=y+z, b=z+x, c=x+y$ thì bất đẳng thức trở thành:
$yz(x+y)(x+z)+zx(y+z)(y+x)+xy(z+x)(z+y) \ge 4xyz(x+y+z)$
$\leftrightarrow (xy+yz+zx)^2 \ge 3xyz(x+y+z)$
$\leftrightarrow x^2(y-z)^2+y^2(z-x)^2+z^2(x-y)^2 \ge 0$
Bài 2.
Giả sử $x\ge y\ge z$ thì
$x^2+y^2+z^2=x(x-y)+(x+y)(y-z)+z(x+y+z)=x(x-y)+(3-z)(y-z)+3z\le 2(x-y)+3(y-z)+3z\\ = x+3-z\le 5$
Bài 3.
Từ $0\le x,y,z\le 1$ cho ta $(1-x^2)(1-y)+(1-y^2)(1-z)+(1-z^2)(1-x) \ge 0$
$\leftrightarrow 3+x^2y+y^2z+z^2x\ge x^2+y^2+z^2+x+y+z$
Do đó ta cần chứng minh $2(x^3+y^3+z^3)\le x^2+y^2+z^2+x+y+z$
$\leftrightarrow x(1+2x)(1-x)+y(1+2y)(1-y)+z(1+2z)(1-z) \ge 0$ luôn đúng.