Toán nâng cao đại số 8

[viethoang345]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Rút gọn và chứng minh biểu thức sau ko âm với mọi giá trị của x:
$ \frac{x^4 + x^3 + x + 1}{x^4 - x^3 + 2x^2 - x + 1} $
Bài 2: Chứng minh các bất đẳng thức:
a, $ 2.( a^2 + b^2 ) \ge ( a + b )^2 $
b, $ 3.( a^2 + b^2 + c^2 ) \ge ( a + b + c )^2 \ge 3.( ab + bc + ca ) $

 

[eye_smile]

2,

a,Nhiều cách:

$2(a^2+b^2) \ge (a+b)^2$

\Leftrightarrow $2a^2+2b^2 \ge a^2+b^2+2ab$

\Leftrightarrow $a^2+b^2-2ab \ge 0$

\Leftrightarrow $(a-b)^2 \ge 0$ (lđ)

\Rightarrow đpcm.

HOặc AD Cauchy-Schwarz:

$(1^2+1^2)(a^2+b^2) \ge (a.1+b.1)^2=(a+b)^2$

\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

2b,Có thể biến đổi tương đương cũng ra.

+$3(a^2+b^2+c^2)=(1^2+1^2+1^2)(a^2+b^2+c^2) \ge (1.a+1.b+1.c)^2=(a+b+c)^2$

+(a^2+b^2+c^2)(b^2+c^2+a^2) \ge (ab+bc+ca)^2$

\Rightarrow $ab+bc+ca \le a^2+b^2+c^2$


\Leftrightarrow $3(ab+bc+ca) \le a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^2$

\Rightarrow đpcm

 

[eye_smile]

1,$\dfrac{x^4+x^3+x+1}{x^4-x^3+2x^2-x+1}=\dfrac{x^3(x+1)+(x+1)}{(x^4+2x^2+1)-x(x^2+1)}=\dfrac{(x+1)(x^3+1)}{(x^2+1)(x^2+1-x)}=\dfrac{(x+1)^2(x^2-x+1)}{(x^2+1)(x^2-x+1)}=\dfrac{(x+1)^2}{x^2+1} \ge 0$ với mọi x tmđkxđ