Toán nâng cao đại số 8

[viethoang345]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1
Cho a, b là các số dương thỏa mãn $5a^2 - 2b^2 = 3ab$ và 2a khác b
Tính giá trị biểu thức: $ P=\frac{ab}{4a^2 - b^2}$
Bài 2
a, Cho a, b, c là ba số đôi một khác nhau và khác 0 thỏa mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 0$ . Hãy tính giá trị biểu thức: $M= \frac{1}{a^2 + 2bc} + \frac{1}{b^2 + 2ca} + \frac{1}{c^2 + 2ab} + 2014$
b, CMR: \forall số tự nhiên n thì $n^2 - 5n + 120$ ko chia hết cho 169
Bài 3
a, Tìm số nguyên tố p sao biểu thức $M=2^p + p^2$ có giá trị là số nguyên tố
b, CMR: $A=(n^3 . (n^2 - 7)^2 - 36n)$ chia hết cho 7 với mọi n thuộc Z
Bài 4
Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR:
$A=\frac{a}{b + c - a} + \frac{b}{a + c - b} + \frac{c}{a + b - c}$ \geq 3
latex thì đưng quên kí hiệu $ nhé bạn (mình góp ý là bạn nên để size chữ to to cho dễ đok; ok?) (đã sửa)

 

[trinhminh18]

1/ $5a^2-3ab-2b^2=0$ \Leftrightarrow $(a-b)(5a+2b)=0$
\Rightarrow $a=b$ hoặc $5a=-2b$
\Rightarrow Thay a theo b vào biểu thức cần tính rồi rút gọn

2/ Ta có:
$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+ \dfrac{1}{c}=0$
\Rightarrow quy đồng \Rightarrow $ab+bc+ca=0$ \Rightarrow $ab=-bc-ca; bc=-ca-ab;ca=-ab-bc$
Ta có: $\dfrac{1}{a^2+2bc}+ \dfrac{1}{b^2+2ac}+ \dfrac{1}{c^2+2ab}$
$= \dfrac{1}{a^2+bc-ab-ac}+ \dfrac{1}{b^2+ac-ab-bc} +\dfrac{1}{c^2+ba-bc-ca}$
$ = \dfrac{1}{(a-c)(a-b)}+ \dfrac{1}{(c-b)(a-b)}- \dfrac{1}{(a-c)(c-b)}$
$ =\dfrac{c-b+a-c-(a-b)}{(a-b)(a-c)(c-b)}=0$

 

[trinhminh18]

4/ ta có:
Bài 4
Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR:
$A=\dfrac{a}{b + c - a} + \dfrac{b}{a + c - b} + \dfrac{c}{a + b - c}$ \geq 3
Đặt $a+b-c=x; b+c-a=y; c+a-b=z$
\Rightarrow $a=\dfrac{x+z}{2} ; b=\dfrac{x+y}{2}; c=\dfrac{y+z}{2}$
\Rightarrow $A=\dfrac{a}{b + c - a} + \dfrac{b}{a + c - b} + \dfrac{c}{a + b - c}$
\Leftrightarrow $A= \dfrac{x+z}{2y} + \dfrac{x+y}{2z}+ \dfrac{y+z}{2x}$
\Leftrightarrow $A=(\dfrac{x}{2y}+ \dfrac{y}{2x})+(\dfrac{y}{2z}+ \dfrac{z}{2y}) +(\dfrac{x}{2z}+ \dfrac{z}{2x})$
Cauchy \Rightarrow $\dfrac{x}{2y}+ \dfrac{y}{2x}$ \geq 1
$ \dfrac{y}{2z}+ \dfrac{z}{2y}$ \geq 1
$\dfrac{x}{2z}+ \dfrac{z}{2x} $ \geq 1
\Rightarrow A \geq 3

 

[transformers123]

4/ ta có:
Bài 4
Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác. CMR:
$A=\dfrac{a}{b + c - a} + \dfrac{b}{a + c - b} + \dfrac{c}{a + b - c}$ \geq 3
Đặt $a+b-c=x; b+c-a=y; c+a-b=z$
\Rightarrow $a=\dfrac{x+z}{2} ; b=\dfrac{x+y}{2}; c=\dfrac{y+z}{2}$
\Rightarrow $A=\dfrac{a}{b + c - a} + \dfrac{b}{a + c - b} + \dfrac{c}{a + b - c}$
\Leftrightarrow $A= \dfrac{x+z}{2y} + \dfrac{x+y}{2z}+ \dfrac{y+z}{2x}$
\Leftrightarrow $A=(\dfrac{x}{2y}+ \dfrac{y}{2x})+(\dfrac{y}{2z}+ \dfrac{z}{2y}) +(\dfrac{x}{2z}+ \dfrac{z}{2x})$
Cauchy \Rightarrow $\dfrac{x}{2y}+ \dfrac{y}{2x}$ \geq 1
$ \dfrac{y}{2z}+ \dfrac{z}{2y}$ \geq 1
$\dfrac{x}{2z}+ \dfrac{z}{2x} $ \geq 1
\Rightarrow A \geq 3

Cách khác =))

Ta có bđt phụ trong tam giác: $abc \ge (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)$

Có:

$A=\dfrac{a}{b + c - a} + \dfrac{b}{a + c - b} + \dfrac{c}{a + b - c}$

$\iff A \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{((a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)}}$ (bđt Cauchy $3$ số)

$\iff A \ge 3\sqrt[3]{\dfrac{abc}{abc}}$ (cái bđt phụ ở trên)

$\iff A \ge 3$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c \rightarrow \Delta$ đều

 

[transformers123]

Bài 2:

b/ Ta có $169=13^2$

$n^2-5n+120$

$=(n-9)(n+4)+156$

Ta có: $(n-9)-(n+4)=-13$

Nên $n-9$ và $n-4$ cùng chia hết cho $13$ hoặc cùng không chia hết cho $13$

$\bigstar TH_1: \ n-9\ \vdots\ 13,\ n+4\ \vdots\ 13$

$\Longrightarrow (n-9)(n+4)\ \vdots\ 169$

$\Longrightarrow (n-9)(n+4)+156\ \not{\vdots}\ 169\ (1)$

$\bigstar TH_2: \ n-9\ \not{\vdots}\ 13;\ n+4 \not{\vdots}\ 13$

$\Longrightarrow (n-9)(n+4)\ \not{\vdots}\ 169$

Mà $156\ \vdots\ 13$

Nên $(n-9)(n+4)\ \not{\vdots}\ 169\ (2)$

Từ $(1)$ và $(2)$, ta có $n^2-5n+120\ \not{\vdots}\ 169$