Toán nâng cao BĐT

[thewinter]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho a,b,c>0.C/m
[TEX]\frac{ab}{a+b} + \frac{bc}{b+c} + \frac{ac}{a+c} \leq \frac{1}{2}(a+b+c)[/TEX]
2) Cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác.C/m
[TEX]a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2 <0[/TEX]

 

[eye_smile]

1,Ta có:

$\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b} \ge \dfrac{4}{a+b}$

\Rightarrow $\dfrac{1}{a+b} \le \dfrac{1}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})$

\Rightarrow $\dfrac{ab}{a+b} \le \dfrac{ab}{4}(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b})=\dfrac{a}{4}+\dfrac{b}{4}$

Tương tự với 2 số còn lại, cộng theo vế suy ra đpcm.

 

[thaygiaotoanhoc]

Bài 2. Dễ dàng phân tích được:
$a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2c^2a^2=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)$
Do $a, b, c$ là ba cạnh của tam giác nên $a>b+c, b>c+a$ và $c>a+b$
Đến đây cho ta điều ta muốn chứng minh.

 

[eye_smile]

2,$a^4+b^4+c^4-2a^2b^2-2b^2c^2-2a^2c^2=(a^4+b^4+2a^2b^2)-2c^2(a^2+b^2)+c^4-4a^2b^2$
$=(a^2+b^2)^2-2(a^2+b^2)c^2+c^4-4a^2b^2=(a^2+b^2-c^2)^2-4a^2b^2=(a^2+b^2-c^2-2ab)(a^2+b^2-c^2+2ab)=(a-b-c)(a-b+c)(a+b-c)(a+b+c)$

Do a;b;c là 3 cạnh của tam giác nên suy ra đpcm.