toán lớp 9

[hocsinhchankinh]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho a,b \geq 0 thoả mãn [TEX]a^2+b^2=1[/TEX]. Chứng minh rằng:
[TEX]\frac{\sqrt{2}}{2}\leq a^3+b^3\leq1[/TEX]

_______________________________________________________________________
:khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35)::khi (35):

 

[transformers123]

Thay $a=x,\ b=y$

Ta có $\begin{cases}x \ge 0\\y \ge 0\\x^2+y^2=1\end{cases} \rightarrow \begin{cases} 0 \le x \le 1\\0 \le y \le 1\end{cases} \rightarrow \begin{cases}x^3 \le x^2\\y^3 \le y^2\end{cases} \rightarrow x^3+y^3 \le x^2+y^2 = 1$

Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}x=1\\y=0\end{cases}$ hoặc $\begin{cases}x=0\\y=1\end{cases}$

 

[transformers123]

Ta có: $a^2+b^2 \ge \dfrac{(a+b)^2}{2}$

$\iff \dfrac{(a+b)^2}{2} \le 1$

$\iff a+b \le \sqrt{2}$

Vì $a=0$ hoặc $b=0$ thì $x^3+y^3$ đạt max

Suy ra $a^3+b^3$ đạt GTNN thì $a \ne 0$ và $b \ne 0$

Ta có: $a^3+b^3 =\dfrac{a^4}{a}+\dfrac{b^4}{b} \ge \dfrac{(a^2+b^2)^2}{\sqrt{2}}
=\dfrac{1^2}{\sqrt{2}} =\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

lp_qt: Sao ko xét riêng trường hợp $a=0$ hoặc $b=0$ (Vì ko phải bài nào cũng bắt tìm $max$)