[Toán Lớp 9] Bất đẳng thức

[phuthuysohoc]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c là 3 cạnh của tam giác . CMR $\dfrac{(b+c-a)^4}{a(a+b-c)}+\dfrac{(c+a-b)^4}{b(b+a-c)}+\dfrac{(b+c-a)^4}{c(c+a-b)} \ge ab+bc+ca$


Ấn Sửa bài để xem cách gõ.

 

[hien_vuthithanh]

Đặt $\left\{\begin{matrix}& b+c-a=x& \\ & c+a-b=y & \\& b+a-c=z\end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix}& a=\dfrac{y+z}{2} & \\ & b=\dfrac{x+z}{2} & \\& c=\dfrac{x+y}{2}\end{matrix}\right. (a,b,c >0)$


BDT $\iff \sum \dfrac{2x^4}{(y+z)z} \ge \sum \dfrac{(x+y)(y+z)}{4}$
Lại có $2\sum \dfrac{x^4}{(y+z)z} \ge 2\dfrac{(\sum x^2)^2}{\sum x^2+\sum xy}$


Cần cm $2\dfrac{(\sum x^2)^2}{\sum x^2+\sum xy}\ge \sum \dfrac{(x+y)(y+z)}{4}=\dfrac{\sum x^2+3\sum xy}{4}$

$\iff 8(\sum x^2)^2\ge (\sum x^2+\sum xy)(\sum x^2+3\sum xy)$(*)

Đặt $t=\sum x^2+2\sum xy (t >0)$

$\Longrightarrow$ (*)$\iff 8(t-2\sum xy)^2\ge (t-\sum xy)(t+\sum xy)$

$\iff 8t^2-32t\sum xy+32(\sum xy)^2\ge t^2-(\sum xy)^2$

$\iff 7t^2-32t\sum xy +33(\sum xy)^2 \ge 0$

$\iff (t-3\sum xy)(7t-11\sum xy)\ge 0$

$\iff (\sum x^2-\sum xy)(7\sum x^2+3\sum xy)\ge 0$

Cần cm $\sum x^2-\sum xy \ge 0$

Điều này luôn đúng \forall $x,y,x \ge 0$ theo BĐT Cosi

 

[phuthuysohoc]

Đặt $\left\{\begin{matrix}& b+c-a=x& \\ & c+a-b=y & \\& b+a-c=z\end{matrix}\right. \Longrightarrow \left\{\begin{matrix}& a=\dfrac{y+z}{2} & \\ & b=\dfrac{x+z}{2} & \\& c=\dfrac{x+y}{2}\end{matrix}\right. (a,b,c >0)$


BDT $\iff \sum \dfrac{2x^4}{(y+z)z} \ge \sum \dfrac{(x+y)(y+z)}{4}$
Lại có $2\sum \dfrac{x^4}{(y+z)z} \ge 2\dfrac{(\sum x^2)^2}{\sum x^2+\sum xy}$


Cần cm $2\dfrac{(\sum x^2)^2}{\sum x^2+\sum xy}\ge \sum \dfrac{(x+y)(y+z)}{4}=\dfrac{\sum x^2+3\sum xy}{4}$

$\iff 8(\sum x^2)^2\ge (\sum x^2+\sum xy)(\sum x^2+3\sum xy)$(*)

Đặt $t=\sum x^2+2\sum xy (t >0)$

$\Longrightarrow$ (*)$\iff 8(t-2\sum xy)^2\ge (t-\sum xy)(t+\sum xy)$

$\iff 8t^2-32t\sum xy+32(\sum xy)^2\ge t^2-(\sum xy)^2$

$\iff 7t^2-32t\sum xy +33(\sum xy)^2 \ge 0$

$\iff (t-3\sum xy)(7t-11\sum xy)\ge 0$

$\iff (\sum x^2-\sum xy)(7\sum x^2+3\sum xy)\ge 0$

Cần cm $\sum x^2-\sum xy \ge 0$

Điều này luôn đúng \forall $x,y,x \ge 0$ theo BĐT Cosi

Em chưa học đến. Em chỉ mới học lớp 9 thôi

 

[hien_vuthithanh]

Em chưa học đến. Em chỉ mới học lớp 9 thôi

Có chỗ nào là chưa học đâu em ?
Bài này dùng Cosi mà .
Cần lưu ý rằng :$\sum x=x+y+z...$