Toán khó!

[g_dragon88]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1, Chứng minh rằng các số p+1 và p-1 không phải là số chính phương nếu p là tích của n số nguyên đầu tiên.
2, Chứng minh nếu [TEX] a^2+ b^2[/TEX] = [TEX] c^2+ d^2[/TEX] = 2006 thì ac+bd\leq 2006
3, Cho x, y, z là 3 số thực thỏa mãn: [TEX] x^2 + y^2 + z^2[/TEX] = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2xy+yz+zx.
4, Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên a, b, c sao cho:
[TEX] a^2 + b^2 + c^2[/TEX] = 2007


P/s: Mọi người làm giúp với mình đang cần gấp. Thk nhiều!

 

[demon311]

ĐỘI 6+7

2) $a^2+b^2+c^2+d^2=2.2006 \\
\leftrightarrow 2|ac|+2|bd| \le 2.2006 \\
\leftrightarrow ac+bd \le 2006$

 

[huynhbachkhoa23]

Bài 2:
Cauchy-Schwarz:
$ac+bd \le \sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} =2006$

 

[hoangtubongdem5]

Bài 1: Vì p là tích của n số nguyên tố đầu tiên nên p chia hết cho 2 và p không chia hết cho 4 (*)

Ta chứng minh p+1 là số chính phương:
Giả sử phản chứng p+1 là số chính phương . Đặt p+1 = m² (m∈N)
Vì p chẵn nên p+1 lẻ => m² lẻ => m lẻ.
Đặt m = 2k+1 (k∈N). Ta có m² = 4k² + 4k + 1 => p+1 = 4k² + 4k + 1 => p = 4k² + 4k = 4k(k+1) chia hết cho 4. Mâu thuẫn với (*)
Vậy giả sử phản chứng là sai, tức là p+1 là số chính phương

Ta chứng minh p-1 là số chính phương:
Ta có: p = 2.3.5… là số chia hết cho 3 => p-1 có dạng 3k+2.
Vì không có số chính phương nào có dạng 3k+2 nên p-1 không là số chính phương .

Vậy nếu p là tích n số nguyên tố đầu tiên thì p-1 và p+1 không là số chính phương (đpcm)

 

[chonhoi110]

Đội 3

Bài 4: Ta có số chính phương chẵn chia cho 8 dư 0 hoặc 4

số chính phương lẻ chia 8 dư 1

Vì $2007$ là số lẻ ~> trong 3 số a,b,c phải có ít nhất 1 số lẻ hoặc cả 3 số đều lẻ

Giả sử +) a,b chẵn, c lẻ ~> $a^2+b^2+c^2$ chia 8 dư $5$ hoặc $1$

+) a,b,c đều lẻ ~> $a^2+b^2+c^2$ chia 8 dư $3$

Mà $2007$ chia 8 dư $7$ ~> pt vô nghiệm

 

[phamvananh9]

đội 6+7

[TEX][/TEX]
Câu 3:
$Có A+1= 2xy + yz + zx + x^2 + y^2 + z^2
= ( x+y)^2 + z( y+x) + z^2
= ( x + y +\frac{z}{2})^2 +\frac{3}{4}. z^2 \geq 0
Dấu '=' xảy ra khi:
z=0 và x+ y =0
=> x+y=0 và x^2 + y^2 =1
=> (x,y,z) là hoán vị của (\sqrt[]{\frac{-1}{2}};\sqrt[]{\frac{1}{2};0}.
Vậy min A = -1 khi....$