Toán Toán khó về tìm cực trị

[Thám tử]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

cho a,b,c>0 thoã
9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48=0
tìm min: P=a^2/(b+2c) +b^2/(c+2a) +c^2/(a+2b)

 

[Bonechimte]

cho a,b,c>0 thoã
9(a^4+b^4+c^4)-25(a^2+b^2+c^2)+48=0
tìm min: P=a^2/(b+2c) +b^2/(c+2a) +c^2/(a+2b)

Gt <=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$
$P=\frac{a^{4}}{a^{2}b+2a^{2}c}+\frac{b^{4}}{b^{2}c+2ab^{2}}+\frac{c^{4}}{ac^{2}+2bc^{2}} \geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}$
$2a^{2}b\leq a^{2}+a^{2}b^{2}$
Tương tự
$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Rightarrow P\geq 1$

 

[Thám tử]

Gt <=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$
$P=\frac{a^{4}}{a^{2}b+2a^{2}c}+\frac{b^{4}}{b^{2}c+2ab^{2}}+\frac{c^{4}}{ac^{2}+2bc^{2}} \geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}$
$2a^{2}b\leq a^{2}+a^{2}b^{2}$
Tương tự
$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Rightarrow P\geq 1$

cảm ơn nhiều nha

 

[Thám tử]

Gt <=> $a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$
$P=\frac{a^{4}}{a^{2}b+2a^{2}c}+\frac{b^{4}}{b^{2}c+2ab^{2}}+\frac{c^{4}}{ac^{2}+2bc^{2}} \geq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})}$
$2a^{2}b\leq a^{2}+a^{2}b^{2}$
Tương tự
$(a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a)+2(ab^{2}+bc^{2}+ca^{2})\leq \frac{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}{2}+3(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})\leq \frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2}+\frac{(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}{2}=(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}$
$\Rightarrow P\geq 1$

tại sao từ giả tt => đc cái đó z b

 

[Bonechimte]

tại sao từ giả tt => đc cái đó z b

$\Rightarrow 9\left [ (a^{4}+1)+(b^{4}+1)+(c^{4}+1) \right ]-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+21=0\geq 18(a^{2}+b^{2}+c^{2})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+21=0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$

 

[Thám tử]

$\Rightarrow 9\left [ (a^{4}+1)+(b^{4}+1)+(c^{4}+1) \right ]-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+21=0\geq 18(a^{2}+b^{2}+c^{2})-25(a^{2}+b^{2}+c^{2})+21=0 \Leftrightarrow a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3$

còn cái dòng thứ 2 trong bài giải b dùng bđt nào thế

 

[Bonechimte]

còn cái dòng thứ 2 trong bài giải b dùng bđt nào thế

[tex]\frac{c}{a}+\frac{d}{b}\geq \frac{(c+d)^2}{a+b}[/tex]
Dạng thế