toán khó lớp 8

I

icy_tears

$(x + y + z)^3 - x^3 - y^3 - z^3$

$= (x + y)^3 + 3(x + y)^2z + 3(x + y)z^2 - x^3 - y^3 - z^3$

$= x^3 + y^3 + 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz) + 3(x + y)z^2 - x^3 - y^3$

$= 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz) + 3(x + y)z^2$

$= 3(x + y)(xy + xz + yz + z^2)$

$= 3(x + y)(y + z)(z + x)$
 
H

harrypham

Cách khác, sử dụng pp xét giá trị riêng.

+ Coi A là đa thức của biến [TEX]x[/TEX], thay [TEX]x=-y[/TEX] thì [TEX]A=(-y+y+z)^3-(-y)^3-y^3+z^3=z^3-z^3=0[/TEX]. Do đó [TEX]A[/TEX] có nghiệm [TEX]x=-y[/TEX], nên [TEX]A[/TEX] chứa nhân tử [TEX]x+y[/TEX].

Do vai trò của [TEX]x,y,z[/TEX] bình đẳng nên ta dễ dàng suy ra [TEX]A[/TEX] có chứa nhân tử [TEX]y+z,x+z[/TEX].
Như vậy [TEX]A[/TEX] sẽ chứa tích [TEX](x+y)(y+z)(z+x)[/TEX].
Do [TEX]A[/TEX] có bậc 3, [TEX](x+y)(y+z)(z+x)[/TEX] cũng có bậc 3 nên [TEX]A=k(x+y)(y+z)(z+x)[/TEX] với [TEX]k[/TEX] là hằng số.

Hay [TEX](x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=k(x+y)(y+z)(z+x)[/TEX].
Với [TEX]x=0,y=1,z=2[/TEX] thì [TEX](0+1+2)^3-0^3-1^3-2^3=k(0+1)(1+2)(0+2)[/TEX]
[TEX]\Rightarrow 6k=18 \Rightarrow k=3[/TEX].
Vậy [TEX]\fbox{(x+y+z)^3-x^3-y^3-z^3=3(x+y)(y+z)(z+x)}[/TEX].
 
You must log in or register to reply here.
Top Bottom