Toán khó đê

[ledinhlocpt]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: Cho a [tex]\in \[/tex] Z. Chứng minh rằng
$ a^5 $ - a chi hết cho 30
Bài 2: Cho a;b;c dương thỏa mãn (a+b)(b+c)(c+a)=8abc
Chứng minh rằng a=b=c
Bài 3:
Cho x [tex]\in \[/tex] Z
Chứng minh $ x^200 $ + $ x^100 $ +1 chia hết cho $ x^4 $ + $ x^2 $ +1

 

[vipboycodon]

2,Áp dụng bdt cô-si cho 3 số ko âm ta có:
$a+b \ge 2\sqrt{ab}$
$b+c \ge 2\sqrt{bc}$
$a+c \ge 2\sqrt{ac}$
nhân vế với vế ta có:
$(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8\sqrt{a^2b^2c^2}$
<=> $(a+b)(b+c)(a+c) \ge 8abc$
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c (đpcm)

 

[3820266phamtrinh]

Bài 1 :
[TEX]a^5+a=a(a^4+1)[/TEX]
= [TEX]a(a^2+1)(a^2-1)[/TEX]
= [TEX]a(a^2-4+5)(a-1)(a+1)[/TEX]
= [TEX]a(a^2-4)(a-1)(a+1)+5(a-1)(a+1)a[/TEX]
= [TEX]a(a+2)(a-2)(a+1)(a-1)+5a(a-1)(a+1)[/TEX]
Ta thấy A=(a-2)(a-1)(a)(a+1)(a+2) là tích 5 số tự nhiên liên tiếp
\Rightarrow A chia hết 5
A có tích 2 số tự nhiên liên tiếp \Rightarrow A chia hết 2
A có tích của 3 số tự nhiên liên tiếp \Rightarrow A chia hết cho 3
\Rightarrow A chia hết cho 30
Ta thấy B=5a(a-1)(a+1) ; B chia hết 5
có tích của 3 số tn liên tiếp là a(a-1)(a+1) \Rightarrow a(a-1)(a+1) chia hết 3 và cũng có 2 số liên tiếp nên chia hết cho 2 \Rightarrow a(a+1)(a-1) chia hết cho 6
\Rightarrow B chia hết cho 30
Ta có A chia hết 30 ; B chia hết 30
\Rightarrow A+B chia hết 30
Vậy [TEX]a^5+a[/TEX] chia hết 30

 

[chonhoi110]

Hình như bài 3 sai đề bạn à

Đề đúng là :Chứng minh $x^{200} + x^{100} +1$ chia hết cho $x^4 + x^2 +1$

Giải

$x^{200}+x^{100}+1=x^{100}(x^2+1)+1$

$x^4+x^2+1=x^2(x^2+1)+1$

Ta có: $x^{100}(x^2+1)+1$ chia hết cho $x^2(x^2+1)+1$ hay

$x^{200}+x^{100}+1$ chia hết cho $x^4+x^2+1$