toán khó đây .hi.hi

[hungcuong10a1]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

với 2 số a và b có tổng lớn hơn hoặc bằng 2, chứng minh rằng a ^4 +b^4 >= a^3 + b^3
mình làm được một cách rồi, mong các bạn gợi ý thêm một số cách khác.

 

[hocmai.toanhoc]

Gửi bạn

Còn một cách nữa bạn nên tham khảo thêm xem nhé!
Mình đi chứng minh tổng quát cho BĐT sau:
[TEX]Cho\,m,n \in N^* .CMR:{{a^m + b^m } \over 2}\,*{{a^n + b^n } \over 2} \le {{a^{m + n} + b^{m + n} } \over 2}[/TEX].
Sau đó áp dụng vào bài này thì dễ thôi. Nếu bài này bạn chưa chứng minh được thì hãy xem cách chứng minh trong cuốn BĐT hay cuốn 150 đề luyện thi ĐH của Bộ GD&ĐT nhé!

 

[bigbang195]

với 2 số a và b có tổng lớn hơn hoặc bằng 2, chứng minh rằng a ^4 +b^4 >= a^3 + b^3
mình làm được một cách rồi, mong các bạn gợi ý thêm một số cách khác.

Giả sử [TEX]a \ge b[/TEX] thì
[TEX]a^3 \ge b^3[/TEX]
theo BDT Trebyshev
[TEX]a^4+b^4 \ge \frac{1}{2}(a+b)(a^3+b^3)\ge \frac{1}{2}.2.(a^3+b^3)=a^3+b^3[/TEX]

 

[bigbang195]

Còn một cách nữa bạn nên tham khảo thêm xem nhé!
Mình đi chứng minh tổng quát cho BĐT sau:
[TEX]Cho\,m,n \in N^* .CMR:{{a^m + b^m } \over 2}\,*{{a^n + b^n } \over 2} \le {{a^{m + n} + b^{m + n} } \over 2}[/TEX].
Sau đó áp dụng vào bài này thì dễ thôi. Nếu bài này bạn chưa chứng minh được thì hãy xem cách chứng minh trong cuốn BĐT hay cuốn 150 đề luyện thi ĐH của Bộ GD&ĐT nhé!

Cũng đúng với trebyshev 2 số, hoặc ai muốn bổ ra phân tích thành tích 2 số cùng dấu cũng đc

 

[thandieustar_116]

taco
[tex]a+b >= 2[/tex]
[tex]a^3+b^3 >= 0[/tex]
[tex]=>(a+b)(a^3+b^3) >= 2(a^3+b^3)[/tex] (1)
ta lại có [tex]2(a^4+b^4)-(a+b)(a^3+b^3)=a^4+b^4-a^3b-ab^3=(a^3-b^3)(a-b)=(a-b)^2(a^2+ab+b^2)\leq 0[/tex]
[tex]=>2(a^4+b^4).=(a+b)(a^3+b^3)>=2(a^3+b^3)=>DPCM[/tex]

 

[thandieustar_116]

CJHUNG MINH BAT DANG THUC TONG QUAT
[tex](\frac{a^m+b^m}{2}*\frac{a^n+b^n}{2}\leq \frac{a^(m+n)+b^(m+n)}{2}[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a^m+b^m)(a^n+b^n) \leq 2[a^(m+n)+b^(n+m)][/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^mb^n+a^n*b^m \leq a^(m+n)+b^(n+m)[/tex]
[tex]\Leftrightarrow a^m(a^n-b^n)-b^m(a^n-b^n) \geq 0[/tex]
[tex]\Leftrightarrow (a^m-b^m)(a^n-b^n) \geq 0[/tex]
vì [tex]a^m-b^m[/tex] và [tex]a^n-b^n[/tex] luon cung dung nên BDT trên đúng vậy BDT trên đúng
áp dung với m=3 n=2 ta có:
[tex]\frac{a^4+b^4}{2} \geq \frac{(a+b)}{2}8\frac{a^3+b^3}{2}\geq \frac{a^3+b^3}{2}[/tex]