Toán khó dành cho hsg

[hocattuong2001]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

1) Cho M= 4.(x-1).(x-2).(x+4).(x+8)+25.x^2. Chung minh M>0
2) Phân tích đa thức thành nhân tử: 12x^2 -
12xy + 3y^2 - 20x + 10y + 8

 

[transformers123]

Bài 1 (Mò cả tiếng đồng hồ mới ra, đề ra chứng minh $M \ge 0$ mới đúng |)
$M=4[(x-1)(x-2(x+4)(x+8)+\dfrac{25x^2}{4}]$
$\iff M=4(x^4+9x^3+\dfrac{17x^2}{4}-72x+64)$ (Khai triển là ra)
$\iff M=\dfrac{1}{64}(256x^4+2304x^3+1088x^2-18432x+16384)$
$\iff M=\dfrac{1}{64}(256x^4+5184x^2+16384+2304x^3-4096x^2-18432x)$
$\iff M=\dfrac{1}{64}(16x^2+72x-128)^2$ (Theo hằng đẳng thức $A^2+B^2+C^2+2AB-2AC-2BC=(A+B-C)^2$)
$\iff M=\dfrac{1}{64}(-16x^2-72x+128)^2$
$\iff M=\dfrac{1}{64}(-4x+\sqrt{209}-9)^2(4x+\sqrt{209}+9)^2$ (Lười gõ, nói chung phân tích cái $(-16x^2-72x+128)^2$ thành nhân tử =)))
$\iff M \ge 0$ =))
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}(-4x+\sqrt{209}-9)^2=0\\(4x+\sqrt{209}+9)^2=0\end{cases} \rightarrow x=-\dfrac{9}{4} \pm \dfrac{\sqrt{209}}{4}$

 

[vipboycodon]

Bài 1 (Mò cả tiếng đồng hồ mới ra, đề ra chứng minh $M \ge 0$ mới đúng |)
$M=4[(x-1)(x-2(x+4)(x+8)+\dfrac{25x^2}{4}]$
$\iff M=4(x^4+9x^3+\dfrac{17x^2}{4}-72x+64)$ (Khai triển là ra)
$\iff M=\dfrac{1}{64}(256x^4+2304x^3+1088x^2-18432x+16384)$
$\iff M=\dfrac{1}{64}(256x^4+5184x^2+16384+2304x^3-4096x^2-18432x)$
$\iff M=\dfrac{1}{64}(16x^2+72x-128)^2$ (Theo hằng đẳng thức $A^2+B^2+C^2+2AB-2AC-2BC=(A+B-C)^2$)
$\iff M=\dfrac{1}{64}(-16x^2-72x+128)^2$
$\iff M=\dfrac{1}{64}(-4x+\sqrt{209}-9)^2(4x+\sqrt{209}+9)^2$ (Lười gõ, nói chung phân tích cái $(-16x^2-72x+128)^2$ thành nhân tử =)))
$\iff M \ge 0$ =))
Dấu "=" xảy ra khi $\begin{cases}(-4x+\sqrt{209}-9)^2=0\\(4x+\sqrt{209}+9)^2=0\end{cases} \rightarrow x=-\dfrac{9}{4} \pm \dfrac{\sqrt{209}}{4}$

Bác này nghĩ cao sao thật , bái phục bái phục.
$M = 4(x-1)(x-2)(x+4)(x+8)+25x^2$
$M = 4[(x-1)(x+8)][(x-2)(x+4)]+25x^2$
$M = 4(x^2+7x-8)(x^2+2x-8)+25x^2$ (*)
Đặt $x^2+7x-8 = t$
(*) => $M = 4t(t-5x)+25x^2$
$M = 4t^2-20tx+25x^2$
$M = (2t-5x)^2 = [2(x^2+7x-8)-5x]^2 = (2x^2+9x-16)^2 \ge 0$

 

[transformers123]

Không ai làm bài 2 à:
$12x^2 -12xy + 3y^2 - 20x + 10y + 8$
$=12^2-6xy-12x-6xy+3y^2+6y-8x+4y+8$
$=(6x-3y-4)(2x-y-2)$