Toán khó chia hết

[nhockute2012vn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Bài 1: CMR [TEX]{11}^{10}-1 \vdots 100[/TEX]
Bài 2:cho:
[TEX]A={1}^{2005}+{2}^{2005}+{3}^{2005}...+{n}^{2005}[/TEX]
[TEX]B=1+2+...+n[/TEX]
CMR:[TEX]A \vdots B[/TEX]
Bài 3: CMR : [tex]\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}[/tex] là số nguyên với [tex]n \in\ Z[/tex]

 

[iamadream]

Bài 3: CMR : [tex]\frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15}[/tex] là số nguyên với [tex]n \in\ Z[/tex]

Ta có :
[tex]\frac{7n}{15}=n-\frac{8n}{15}=n-\frac{n}{5}-\frac{n}{3} \\ \Rightarrow \frac{n^5}{5}+\frac{n^3}{3}+\frac{7n}{15} = \frac{n^5-n}{2}+\frac{n^3-n}{3}+n[/tex]
Dễ CM :
[tex]n^5-n \ \ \vdots \ \ 10 \Rightarrow n^5-n \vdots 5 (1)[/tex]
Dể CM :
[tex]n^3-n \ \ \vdots \ \ 6 \Rightarrow n^3-n \vdots 3 (2)[/tex]
[tex](1)(2) \Rightarrow dpcm[/tex]

 

[iamadream]

Bài 2:cho:
[TEX]A={1}^{2005}+{2}^{2005}+{3}^{2005}...+{n}^{2005}[/TEX]
[TEX]B=1+2+...+n[/TEX]
CMR:[TEX]A \vdots B[/TEX]

CM bổ đề : với n là số nguyên dương , k là số tự nhiên lẽ : Ta có :
[tex] 1^k+2^k+...+n^k \ \ \vdots \ \ (1+2+...+n)[/tex]

Giải:
Đặt
[tex]S=1^k+2^k+...+n^k \Rightarrow S=n^k + (n-1)^k +...+1^k \\ \Rightarrow 2S=(1^k+n^k)+[2^k +(n-1)^k]+...+(n^k+1^k) \\ \Rightarrow 2S \ \ \vdots (n+1)(1)[/tex]
Mặt khác :
[tex]S=(n-1)^k+(n-2)^k+...+1^k+n^k \\ \Rightarrow 2S \ \ \vdots n (2) \\ (1)(2) \Rightarrow 2S \ \ \vdots n(n+1) [/tex]
Mà
[tex]n(n+1) chang~ \\ \Rightarrow S \ \ \vdots \frac{n(n+1)}{2} (3)[/tex]
Mà
[tex]\frac{n(n+1)}{2}=1+2+...+n (4) \\ (3)(4) \Rightarrow S \ \ \vdots (1+2+..+n) [/tex]


*Áp dụng bổ đề trên ta suy ra [tex]1^{2005}+2^{2005}+..+n^{2005} \ \ \vdots (1+2+..+n) \Rightarrow dpcm [/tex]

 

[iamadream]

Bài 1: CMR [TEX]{11}^{10}-1 \vdots 100[/TEX]

Lời giải như sau .

Phân tích : [tex]11^{10}=(10+1)^{10}[/tex]
Theo Nhị thức Newton , khai triển ra ta được :
[tex]10^{10}+...+100+1=100k+101 (k \in Z) \\ \Rightarrow 11^{10}-1 = 100k+101-1 = 100k+100=100(k+1) \ \ \vdots \ \ 100 \ \ (dpcm)[/tex]

 

[nhockute2012vn]

Chứng minh rằng [tex]m.n(m^2-n^2) \vdots 6[/tex]...............

 

[iamadream]

Chứng minh rằng [tex]m.n(m^2-n^2) \vdots 6[/tex]...............

[tex]mn(m^2-n^2)\\ = mn[(m^2-1)-(n^2-1)]=mn(m-1)(m+1)-mn(n-1)(n+1)[/tex]
Theo Dirichle : Trong 3 số nguyên liên tiếp ắt phải có 1 số chia hết cho 2 , 1 số chia hết cho 3 , mà [tex](2,3)=1[/tex] do đó :
[tex]\Rightarrow n(m-1)m(m+1) \ \ \vdots 6[/tex]
Tương tự :
[tex]\Rightarrow m(n-1)n(n+1) \ \ \vdots 6 [/tex]
Từ trên [tex]\Rightarrow dpcm [/tex]