[Toán khó] Ai giải được thì bái phục:):)

[conbaodn]

[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
Chắc suất Đại học top - Giữ chỗ ngay!!

ĐĂNG BÀI NGAY để cùng trao đổi với các thành viên siêu nhiệt tình & dễ thương trên diễn đàn.

Cho các số thực dương a,b,c chứng minh rằng
[TEX]\frac{(a+b)^2}{a.b} + \frac{(b+c)^2}{b.c} + \frac{(c+a)^2}{c.a} \geq 9+2(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b})[/TEX]
Nếu Không Giải Được Thì Thanks Mình Để Mình Cho Kết Quả =))=))=))=))

 

[braga]

Bất đẳng thức đã cho tương đương với : $$a\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)+b\left( \frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)+c\left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right) \ge 3+2\left( \frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)$$Áp dụng bất đẳng thức $\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \ge \frac{4}{x+y}$ ta có : $$VT \ge \frac{4a}{b+c}+\frac{4b}{c+a}+\frac{4c}{a+b}$$ Thành thử ta chỉ cần chứng minh : $$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \ge \frac{3}{2}$$ Tuy nhiên đây là bất đẳng thức Nesbit quen thuộc, đã xuất hiện nhiều lần trên diễn đàn
Bài toán giải xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c. \square$