Ta có: $\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) = 1 + \dfrac{y}{x} + \dfrac{z}{x} + 1 + \dfrac{x}{y} + \dfrac{z}{y} + 1 + \dfrac{x}{z} + \dfrac{y}{z} = 3 + \left( {\dfrac{y}{x} + \dfrac{x}{y}} \right) + \left( {\dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{x}} \right) + \left( {\dfrac{y}{z} + \dfrac{z}{y}} \right) \ge 9$ (do với a, b dương thì $\dfrac{a}{b} + \dfrac{b}{a} = \dfrac{{{a^2} + {b^2}}}{{ab}} \ge \dfrac{{2ab}}{{ab}} = 2$ )
Vì x,y,z là 3 cạnh của tam giác nên giả sử $x \le y \le z$
\Rightarrow $\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x - y \le 0} \\
{y - z \le 0} \\
{z - x \ge 0} \\
\end{array}} \right.$
\Rightarrow $\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right) \ge 0$
\Rightarrow $\dfrac{{3\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{xyz}} \ge 0$
\Rightarrow $\left( {x + y + z} \right)\left( {\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{z}} \right) + \dfrac{{3\left( {x - y} \right)\left( {y - z} \right)\left( {z - x} \right)}}{{xyz}} \ge 9 + 0 = 9$
[TẶNG BẠN] TRỌN BỘ Bí kíp học tốt 08 môn
=